Uma escada com 25 unidades de comprimento está apoiada numa parede vertical. Se o pé da escada for puxado horizontalmente, afastando-se da parede a 3 unidades de comprimento por segundo, qual a velocidade com que a escada está deslizando, quando seu pé está a 15 unidades de comprimento da parede?

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que pede:
  • Dado: o comprimento da escada é 25 unidades (constante).
  • Dado: o pé da escada afasta-se da parede com velocidade \dfrac{dx}{dt}=3 unidades/s (positivo porque aumenta a distância horizontal).
  • Situação em que se pergunta: quando a distância do pé à parede é x=15 unidades.
  • Pedido: descobrir a velocidade com que o topo da escada desliza verticalmente (ou seja, \dfrac{dy}{dt}) nesse instante.

Passo 2

Escolher variáveis e escrever a relação entre elas:
  • Seja x(t) a distância horizontal do pé da escada ao pé da parede (função do tempo).
  • Seja y(t) a altura do topo da escada na parede (função do tempo).
    Como a escada forma um triângulo retângulo com a parede e o chão, vale o teorema de Pitágoras:
x^2+y^2=25^2=625.
Explicação rápida do porquê: a escada é a hipotenusa fixa do triângulo, e os catetos são x e y; por isso x^2+y^2 é constante igual ao quadrado do comprimento da escada.

Passo 3

Diferenciar implicitamente em relação ao tempo t:
  • Ao diferenciar x^2 com respeito a t usamos a regra da cadeia: a derivada de x^2 é 2x multiplicada por \dfrac{dx}{dt}.
  • Analogamente para y^2.
    Diferenciando ambos os lados de x^2+y^2=625 obtemos
2x\frac{dx}{dt}+2y\frac{dy}{dt}=0.
Dividindo por 2 e isolando \dfrac{dy}{dt}
\frac{dy}{dt}=-\frac{x}{y}\frac{dx}{dt}.
Interpretação: a velocidade vertical do topo está relacionada à velocidade horizontal do pé por um fator -\dfrac{x}{y}. O sinal negativo indica que se x está aumentando ( \dfrac{dx}{dt}>0), então y diminui ( \dfrac{dy}{dt}<0), ou seja, o topo desce.

Passo 4

Calcular y no instante pedido ( x=15):
  • Usar a relação x^2+y^2=625. Substituindo x=15:
15^2+y^2=625 \quad\Rightarrow\quad 225+y^2=625.
  • Subtrair 225:
y^2=625-225=400.
  • Tomar a raiz quadrada (altura é positiva):
y=\sqrt{400}=20.

Passo 5

Substituir os valores em \dfrac{dy}{dt}=-\dfrac{x}{y}\dfrac{dx}{dt}:
\frac{dy}{dt}=-\frac{15}{20}\cdot 3.
Calcular passo a passo:
-\frac{15}{20}=-\frac{3}{4},
\frac{dy}{dt}=-\frac{3}{4}\cdot 3=-\frac{9}{4}.
Em formato decimal,
\frac{dy}{dt}=-2{,}25\\ \text{unidades/s}.
Interpretação final: a velocidade é negativa, portanto o topo da escada está deslizando para baixo a 9/4 unidades por segundo.

Passo 6

Dica para prova: defina sempre as variáveis x e y, escreva a relação geométrica (aqui Pitágoras), diferencie implicitamente e só então substitua os valores numéricos — assim evita erros. Você mandou bem vindo pedir passo a passo — Continue praticando que dá certo!

Resposta

\displaystyle -\dfrac{9}{4}\\ \text{unidades/s}

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