Uma escada com 25 unidades de comprimento está apoiada numa parede vertical. Se o pé da escada for puxado horizontalmente, afastando-se da parede a 3 unidades de comprimento por segundo, qual a velocidade com que a escada está deslizando, quando seu pé está a 15 unidades de comprimento da parede?
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que pede:
- Dado: o comprimento da escada é
unidades (constante). - Dado: o pé da escada afasta-se da parede com velocidade
unidades/s (positivo porque aumenta a distância horizontal). - Situação em que se pergunta: quando a distância do pé à parede é
unidades. - Pedido: descobrir a velocidade com que o topo da escada desliza verticalmente (ou seja,
) nesse instante.
Passo 2
Escolher variáveis e escrever a relação entre elas:
- Seja
a distância horizontal do pé da escada ao pé da parede (função do tempo). - Seja
a altura do topo da escada na parede (função do tempo).
Como a escada forma um triângulo retângulo com a parede e o chão, vale o teorema de Pitágoras:
Explicação rápida do porquê: a escada é a hipotenusa fixa do triângulo, e os catetos são
e
; por isso
é constante igual ao quadrado do comprimento da escada.
Passo 3
Diferenciar implicitamente em relação ao tempo
:
- Ao diferenciar
com respeito a usamos a regra da cadeia: a derivada de é multiplicada por . - Analogamente para
.
Diferenciando ambos os lados deobtemos
Dividindo por
e isolando
dá
Interpretação: a velocidade vertical do topo está relacionada à velocidade horizontal do pé por um fator
. O sinal negativo indica que se
está aumentando (
), então
diminui (
), ou seja, o topo desce.
Passo 4
Calcular
no instante pedido (
):
- Usar a relação
. Substituindo :
- Subtrair 225:
- Tomar a raiz quadrada (altura é positiva):
Passo 5
Substituir os valores em
:
Calcular passo a passo:
Em formato decimal,
Interpretação final: a velocidade é negativa, portanto o topo da escada está deslizando para baixo a
unidades por segundo.
Passo 6
Dica para prova: defina sempre as variáveis
e
, escreva a relação geométrica (aqui Pitágoras), diferencie implicitamente e só então substitua os valores numéricos — assim evita erros. Você mandou bem vindo pedir passo a passo — Continue praticando que dá certo!