Dois carros R1 e R2 percorrem, respectivamente, as estradas BR-01 e BR-02, tendo seus movimentos descritos por
sigma1(t)=(10 t, 50 t^2) e sigma2(t)=(7 t, 70 t-50), t >= 0
a) no ponto P onde as estradas BR-01 e BR-02 se cruzam está situado um posto de fiscalização de velocidades. Encontre as coordenadas deste ponto P.
b) os dois carros chegam ao ponto P ? Se não, qual deles chega primeiro?

Passo 1

Temos dois carros cujos movimentos são descritos por curvas paramétricas em
R^2:
sigma1(t)=(10t,50t^2) para o carro R₁ e
sigma2(t)=(7t,70t-50) para o carro R₂. O objetivo é achar o ponto de interseção P das estradas (parte a) e depois comparar os instantes em que cada carro passa por P (parte b).

Passo 2

Para encontrar o ponto de cruzamento P, igualamos as componentes x e y das duas curvas em instantes possivelmente diferentes t1 e t2:
10t1 = 7t2,
50t1^2 = 70t2 - 50
Da primeira equação, isolamos t2:
t2 = 107 , t1

Passo 3

Substituímos t2 na equação de y:
50t1^2 = 70l(tfrac107t1r) - 50 = 100t1 - 50
Reescrevendo,
50t1^2 - 100t1 + 50 = 0 Longrightarrow t1^2 - 2t1 + 1 = 0 Longrightarrow (t1 - 1)^2 = 0,
logo t1 = 1.

Passo 4

Com t1 = 1 obtemos t2 = tfrac107. Substituindo em qualquer curva para achar P, por exemplo em sigma1(1):
P = (10cdot1, 50cdot1^2) = (10, 50)

Passo 5

Como t1 = 1 >= 0 e t2 = tfrac107 approx 1,43 >= 0, ambos os carros passam pelo ponto P. Porém, R₁ chega em t1 = 1 antes de R₂ que chega em t2 = tfrac107, então R₁ chega primeiro.

Resposta

P = (10, 50). Ambos os carros passam por P, e R₁ chega primeiro.

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