1. Ricardo, com 80 kg de massa, e Carmelita, que é mais leve, estão apreciando o pôr do sol no Lago Mercedes em uma canoa de 30 kg . Com a canoa imóvel nas águas calmas do lago, o casal troca de lugar. Seus assentos estão separados por uma distância de 3,0 \mathrm{~m} e simetricamente dispostos em relação ao centro da
    embarcação. Se, com a troca, a canoa se desloca 40 cm em relação ao atracadouro, qual é a massa de Carmelita?

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • Dados extraídos do enunciado:
    • Massa de Ricardo: m_R = 80\\ \mathrm{kg}.
    • Massa da canoa: M = 30\\ \mathrm{kg}.
    • As duas cadeiras (assentos) estão separadas por 3,0\\ \mathrm{m} e são simétricas em relação ao centro da canoa. Logo cada assento fica a 1,5\\ \mathrm{m} do centro da canoa.
    • Ao trocarem de lugar, a canoa desloca-se 40\\ \mathrm{cm} em relação ao atracadouro, ou seja \Delta = 0,40\\ \mathrm{m}.
  • O que o enunciado pede:
    • Determinar a massa de Carmelita, que chamarei de m_C.

Passo 2

Princípio físico e fórmula que vou usar (explicação didática).
  • Em problemas onde pessoas se movem dentro de um barco sem interação horizontal externa significativa, a posição do centro de massa (COM) do sistema “pessoas + barco” em relação ao solo (atracadouro) não muda. Isso porque não há força externa horizontal que altere a posição do COM do sistema.
  • Para um conjunto de massas pontuais a posição do centro de massa X num eixo x é dada por:
X=\frac{\sum_i m_i x_i}{\sum_i m_i},
onde m_i é a massa de cada componente e x_i é sua posição (medida em relação a uma origem escolhida). Vou usar essa fórmula para comparar a posição do COM antes e depois da troca de lugares.
  • Explicando as variáveis: aqui i percorre Ricardo, Carmelita e a canoa; m_i são as massas ( m_R,\\ m_C,\\ M); x_i serão as posições relativas ao atracadouro (coordenadas absolutas).

Passo 3

Escolha do sistema de coordenadas e posições iniciais (montando as expressões).
  • Escolho o eixo x com origem fixa no atracadouro (ou seja, medindo posições em relação ao atracadouro). Seja x_0 a posição do centro da canoa antes da troca (não precisamos conhecer x_0 numericamente).
  • Como os assentos são simétricos, antes da troca:
    • Ricardo está a +1,5\\ \mathrm{m} em relação ao centro da canoa: sua posição absoluta é x_R^{(i)}=x_0+1,5.
    • Carmelita está a -1,5\\ \mathrm{m} em relação ao centro da canoa: sua posição absoluta é x_C^{(i)}=x_0-1,5.
    • A massa da canoa M pode ser tomada concentrada no seu centro, posição x_{\mathrm{can}}^{(i)}=x_0.
  • Aplicando a fórmula do COM inicial X_i:
X_i=\frac{m_R(x_0+1,5)+m_C(x_0-1,5)+M x_0}{m_R+m_C+M}.
  • Faço a soma no numerador agrupando termos em x_0:
X_i=\frac{(m_R+m_C+M)x_0 + 1,5(m_R-m_C)}{m_R+m_C+M}.
  • Simplificando:
X_i = x_0 + \frac{1,5\,(m_R-m_C)}{m_R+m_C+M}.

Passo 4

Posições depois da troca e expressão do COM final.
  • Depois da troca de lugar:
    • A canoa deslocou-se \Delta = 0,40\\ \mathrm{m} em relação ao atracadouro, então o centro da canoa passa a estar em x_0+\Delta.
    • Os ocupantes trocaram os lados: Ricardo agora está a -1,5 em relação ao novo centro da canoa e Carmelita a +1,5. Assim:
      • x_R^{(f)}=x_0+\Delta-1,5.
      • x_C^{(f)}=x_0+\Delta+1,5.
      • x_{\mathrm{can}}^{(f)}=x_0+\Delta.
  • Aplicando a fórmula do COM final X_f:
X_f=\frac{m_R(x_0+\Delta-1,5)+m_C(x_0+\Delta+1,5)+M(x_0+\Delta)}{m_R+m_C+M}.
  • Agrupando termos em x_0+\Delta:
X_f = x_0+\Delta + \frac{1,5\,(m_C-m_R)}{m_R+m_C+M}.

Passo 5

Conservação do COM e equação para m_C.
  • Pela conservação do centro de massa em relação ao atracadouro temos X_i = X_f. Substituindo as expressões:
x_0 + \frac{1,5\,(m_R-m_C)}{m_R+m_C+M} = x_0+\Delta + \frac{1,5\,(m_C-m_R)}{m_R+m_C+M}.
  • O x_0 cancela. Reorganizo:
\frac{1,5\,(m_R-m_C)}{T} = \Delta + \frac{1,5\,(m_C-m_R)}{T},
onde defini T = m_R+m_C+M.
  • Levo o segundo termo do lado esquerdo:
\frac{1,5\,(m_R-m_C) - 1,5\,(m_C-m_R)}{T} = \Delta.
  • Calculo o numerador: (m_R-m_C)-(m_C-m_R)=2(m_R-m_C). Então
\frac{1,5\cdot 2\,(m_R-m_C)}{T} = \Delta.
  • Ou seja
\frac{3,0\,(m_R-m_C)}{T} = \Delta.
  • Substituindo T = m_R+m_C+M,
3,0\,(m_R-m_C) = \Delta\,(m_R+m_C+M).
  • Essa é a equação que vou resolver para m_C.

Passo 6

Resolvendo algebricamente com os números dados.
  • Substituo m_R=80, M=30 e \Delta=0,40:
3{,}0\,(80-m_C) = 0{,}40\,(80+m_C+30).
  • Simplifico o lado direito: 80+30=110. Então
3{,}0\,(80-m_C) = 0{,}40\,(110+m_C).
  • Faço as multiplicações:
240 - 3{,}0\,m_C = 44 + 0{,}40\,m_C.
  • Reuno termos em m_C no lado direito e números no esquerdo:
240 - 44 = 3{,}0\,m_C + 0{,}40\,m_C.
196 = 3{,}40\,m_C.
  • Assim
m_C = \frac{196}{3{,}40}.
  • Dividindo:
m_C \approx 57{,}6470588\\ \mathrm{kg}.
  • Arredondando razoavelmente (duas casas decimais):
m_C \approx 57{,}65\\ \mathrm{kg}.

Passo 7

Verificação e interpretação rápida.
  • O resultado faz sentido: Carmelita é mais leve que Ricardo ( 80\\ \mathrm{kg}) e o valor obtido é compatível com o deslocamento observado. A ordem de grandeza está coerente.
  • Dica prática para prova: montar a equação do centro de massa antes e depois do movimento, usar simetria dos assentos para escrever os deslocamentos \pm 1,5\\ \mathrm{m} e resolver a equação linear resultante para a massa desconhecida.

Resposta

m_C \approx 57{,}65\\ \mathrm{kg}

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