- Ricardo, com 80 kg de massa, e Carmelita, que é mais leve, estão apreciando o pôr do sol no Lago Mercedes em uma canoa de 30 kg . Com a canoa imóvel nas águas calmas do lago, o casal troca de lugar. Seus assentos estão separados por uma distância de
e simetricamente dispostos em relação ao centro da
embarcação. Se, com a troca, a canoa se desloca 40 cm em relação ao atracadouro, qual é a massa de Carmelita?
embarcação. Se, com a troca, a canoa se desloca 40 cm em relação ao atracadouro, qual é a massa de Carmelita?
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
- Dados extraídos do enunciado:
- Massa de Ricardo:
. - Massa da canoa:
. - As duas cadeiras (assentos) estão separadas por
e são simétricas em relação ao centro da canoa. Logo cada assento fica a do centro da canoa. - Ao trocarem de lugar, a canoa desloca-se
em relação ao atracadouro, ou seja .
- Massa de Ricardo:
- O que o enunciado pede:
- Determinar a massa de Carmelita, que chamarei de
.
- Determinar a massa de Carmelita, que chamarei de
Passo 2
Princípio físico e fórmula que vou usar (explicação didática).
- Em problemas onde pessoas se movem dentro de um barco sem interação horizontal externa significativa, a posição do centro de massa (COM) do sistema “pessoas + barco” em relação ao solo (atracadouro) não muda. Isso porque não há força externa horizontal que altere a posição do COM do sistema.
- Para um conjunto de massas pontuais a posição do centro de massa
num eixo é dada por:
onde
é a massa de cada componente e
é sua posição (medida em relação a uma origem escolhida). Vou usar essa fórmula para comparar a posição do COM antes e depois da troca de lugares.
- Explicando as variáveis: aqui
percorre Ricardo, Carmelita e a canoa; são as massas ( ); serão as posições relativas ao atracadouro (coordenadas absolutas).
Passo 3
Escolha do sistema de coordenadas e posições iniciais (montando as expressões).
- Escolho o eixo
com origem fixa no atracadouro (ou seja, medindo posições em relação ao atracadouro). Seja a posição do centro da canoa antes da troca (não precisamos conhecer numericamente). - Como os assentos são simétricos, antes da troca:
- Ricardo está a
em relação ao centro da canoa: sua posição absoluta é . - Carmelita está a
em relação ao centro da canoa: sua posição absoluta é . - A massa da canoa
pode ser tomada concentrada no seu centro, posição .
- Ricardo está a
- Aplicando a fórmula do COM inicial
:
- Faço a soma no numerador agrupando termos em
:
- Simplificando:
Passo 4
Posições depois da troca e expressão do COM final.
- Depois da troca de lugar:
- A canoa deslocou-se
em relação ao atracadouro, então o centro da canoa passa a estar em . - Os ocupantes trocaram os lados: Ricardo agora está a
em relação ao novo centro da canoa e Carmelita a . Assim: -
. -
. -
.
-
- A canoa deslocou-se
- Aplicando a fórmula do COM final
:
- Agrupando termos em
:
Passo 5
Conservação do COM e equação para
.
- Pela conservação do centro de massa em relação ao atracadouro temos
. Substituindo as expressões:
- O
cancela. Reorganizo:
onde defini
.
- Levo o segundo termo do lado esquerdo:
- Calculo o numerador:
. Então
- Ou seja
- Substituindo
,
- Essa é a equação que vou resolver para
.
Passo 6
Resolvendo algebricamente com os números dados.
- Substituo
, e :
- Simplifico o lado direito:
. Então
- Faço as multiplicações:
- Reuno termos em
no lado direito e números no esquerdo:
- Assim
- Dividindo:
- Arredondando razoavelmente (duas casas decimais):
Passo 7
Verificação e interpretação rápida.
- O resultado faz sentido: Carmelita é mais leve que Ricardo (
) e o valor obtido é compatível com o deslocamento observado. A ordem de grandeza está coerente. - Dica prática para prova: montar a equação do centro de massa antes e depois do movimento, usar simetria dos assentos para escrever os deslocamentos
e resolver a equação linear resultante para a massa desconhecida.