Duas cascas condutoras esféricas, concêntricas, de raios r_{B}>r_{A} são mantidas a potenciais V_{A} \in V_{B}, respectivamente. A região entre as cascas está preenchida por um meio dielétrico. Demonstre que a energia armazenada no dielétrico é igual a \mathbf{C}\left(\mathbf{V}_{\mathbf{A}}-\mathbf{V}_{\mathbf{B}}\right)^{\mathbf{2}} / \mathbf{2}. Determinar a capacitância.
Passo 1
O enunciado nos dá:
Duas cascas condutoras esféricas concêntricas com raios \,r_A (interna) e \,r_B (externa), com \,r_B>r_A.
As cascas são mantidas aos potenciais \,V_A (da casca interna) e \,V_B (da casca externa).
A região entre as cascas está preenchida por um dielétrico linear, homogêneo e isotrópico de permitividade \,\varepsilon.
O enunciado pede duas coisas:
Mostrar que a energia armazenada no dielétrico entre as cascas vale \dfrac{1}{2}\,C\,(V_A-V_B)^2.
Determinar a capacitância C desse sistema.
Passo 2
Modelagem física útil (o que podemos usar sem ambiguidade).
Em regime eletrostático, condutores têm cargas livres distribuídas nas superfícies; para um capacitor coaxial de duas cascas, podemos chamar a carga da casca interna de \,Q e da casca externa de -Q (sinal oposto, por conservação de cargas no conjunto). Essa é a configuração que gera a diferença de potencial \,V_A-V_B.
No dielétrico linear e homogêneo vale a relação de material
\mathbf{D}=\varepsilon\,\mathbf{E},
onde \,\mathbf{D} é o deslocamento elétrico, \,\mathbf{E} o campo elétrico e \,\varepsilon a permitividade do meio.
A lei de Gauss (forma integral) para o deslocamento elétrico diz que, para uma superfície gaussiana que envolve a casca interna,
Cálculo do campo elétrico entre as cascas por simetria esférica.
Considere uma superfície esférica de raio \,r com \,r_A<r<r_B. Por simetria \mathbf{D} é radial e constante em módulo na superfície, com direção radial. Assim
D(r)\;4\pi r^2 = Q.
Usando \mathbf{D}=\varepsilon\mathbf{E} obtemos o módulo do campo elétrico: