Duas cascas condutoras esféricas, concêntricas, de raios r_{B}>r_{A} são mantidas a potenciais V_{A} \in V_{B}, respectivamente. A região entre as cascas está preenchida por um meio dielétrico. Demonstre que a energia armazenada no dielétrico é igual a \mathbf{C}\left(\mathbf{V}_{\mathbf{A}}-\mathbf{V}_{\mathbf{B}}\right)^{\mathbf{2}} / \mathbf{2}. Determinar a capacitância.

Passo 1

O enunciado nos dá:
  • Duas cascas condutoras esféricas concêntricas com raios \,r_A (interna) e \,r_B (externa), com \,r_B>r_A.
  • As cascas são mantidas aos potenciais \,V_A (da casca interna) e \,V_B (da casca externa).
  • A região entre as cascas está preenchida por um dielétrico linear, homogêneo e isotrópico de permitividade \,\varepsilon.
    O enunciado pede duas coisas:
  1. Mostrar que a energia armazenada no dielétrico entre as cascas vale \dfrac{1}{2}\,C\,(V_A-V_B)^2.
  2. Determinar a capacitância C desse sistema.

Passo 2

Modelagem física útil (o que podemos usar sem ambiguidade).
  • Em regime eletrostático, condutores têm cargas livres distribuídas nas superfícies; para um capacitor coaxial de duas cascas, podemos chamar a carga da casca interna de \,Q e da casca externa de -Q (sinal oposto, por conservação de cargas no conjunto). Essa é a configuração que gera a diferença de potencial \,V_A-V_B.
  • No dielétrico linear e homogêneo vale a relação de material
\mathbf{D}=\varepsilon\,\mathbf{E},
onde \,\mathbf{D} é o deslocamento elétrico, \,\mathbf{E} o campo elétrico e \,\varepsilon a permitividade do meio.
  • A lei de Gauss (forma integral) para o deslocamento elétrico diz que, para uma superfície gaussiana que envolve a casca interna,
\oint \mathbf{D}\cdot d\mathbf{S}=Q_{\text{livre}}=Q.

Passo 3

Cálculo do campo elétrico entre as cascas por simetria esférica.
  • Considere uma superfície esférica de raio \,r com \,r_A<r<r_B. Por simetria \mathbf{D} é radial e constante em módulo na superfície, com direção radial. Assim
D(r)\;4\pi r^2 = Q.
  • Usando \mathbf{D}=\varepsilon\mathbf{E} obtemos o módulo do campo elétrico:
E(r)=\frac{D(r)}{\varepsilon}=\frac{Q}{4\pi\varepsilon\,r^2}.
Aqui \,E(r) é a intensidade do campo elétrico entre as cascas ( r_A<r<r_B).

Passo 4

Expressão da diferença de potencial entre as cascas em função de \,Q.
  • A diferença de potencial entre duas superfícies \,r_1 e \,r_2 é
V(r_1)-V(r_2)=-\int_{r_2}^{r_1} \mathbf{E}\cdot d\mathbf{l}.
  • Para as cascas, tomando r_1=r_A e r_2=r_B e usando E(r) radial (e d\mathbf{l}=dr\,\hat r),
V_A-V_B = -\int_{r_B}^{r_A} E(r)\,dr = \int_{r_A}^{r_B} E(r)\,dr.
  • Substituindo E(r)=\dfrac{Q}{4\pi\varepsilon r^2} obtemos
V_A-V_B = \frac{Q}{4\pi\varepsilon}\int_{r_A}^{r_B}\frac{1}{r^2}\,dr = \frac{Q}{4\pi\varepsilon}\left(\frac{1}{r_A}-\frac{1}{r_B}\right).

Passo 5

Definição de capacitância e cálculo de C.
  • A capacitância entre as duas cascas é por definição a razão entre a carga da casca interna e a diferença de potencial entre as cascas:
C=\frac{Q}{V_A-V_B}.
  • Usando a expressão anterior para V_A-V_B encontramos
C=\frac{Q}{\dfrac{Q}{4\pi\varepsilon}\left(\dfrac{1}{r_A}-\dfrac{1}{r_B}\right)} =4\pi\varepsilon\left(\frac{1}{\dfrac{1}{r_A}-\dfrac{1}{r_B}}\right).
  • Simplificando a fração:
C=4\pi\varepsilon\;\frac{r_A r_B}{r_B-r_A}.
Essa é a capacitância do capacitor formado por duas cascas esféricas concêntricas preenchidas por um dielétrico de permitividade \varepsilon.

Passo 6

Fórmula da densidade de energia eletrostática no dielétrico.
  • Em um meio linear e isotrópico a densidade de energia elétrica (energia por unidade de volume) é
u=\frac{1}{2}\mathbf{E}\cdot\mathbf{D}=\frac{1}{2}\varepsilon E^2.
  • Vamos usar essa expressão e integrar sobre o volume entre as cascas para obter a energia total armazenada no dielétrico:
U=\int_{\text{região}} u\,dV=\frac{1}{2}\varepsilon\int_{r_A}^{r_B} E(r)^2\,dV.ã

Passo 7

Cálculo explícito da energia por integração.
  • Substitua E(r)=\dfrac{Q}{4\pi\varepsilon r^2} e o elemento de volume em coordenadas esféricas dV=4\pi r^2\,dr:
U=\frac{1}{2}\varepsilon\int_{r_A}^{r_B}\left(\frac{Q}{4\pi\varepsilon r^2}\right)^2 4\pi r^2\,dr.
  • Simplificando a expressão dentro da integral:
\left(\frac{Q}{4\pi\varepsilon r^2}\right)^2 4\pi r^2 = \frac{Q^2}{16\pi^2\varepsilon^2 r^4}\cdot 4\pi r^2 = \frac{Q^2}{4\pi\varepsilon^2}\cdot\frac{1}{r^2}.
  • Assim
U=\frac{1}{2}\varepsilon\cdot\frac{Q^2}{4\pi\varepsilon^2}\int_{r_A}^{r_B}\frac{1}{r^2}\,dr =\frac{Q^2}{8\pi\varepsilon}\int_{r_A}^{r_B}\frac{1}{r^2}\,dr.
  • Calculando a integral:
\int_{r_A}^{r_B}\frac{1}{r^2}\,dr=\left[-\frac{1}{r}\right]_{r_A}^{r_B}=\frac{1}{r_A}-\frac{1}{r_B}.
  • Portanto
U=\frac{Q^2}{8\pi\varepsilon}\left(\frac{1}{r_A}-\frac{1}{r_B}\right).

Passo 8

Relacionando a energia U com (V_A-V_B) e com C.
  • Usando a expressão obtida no Passo 4 para \,V_A-V_B,
V_A-V_B=\frac{Q}{4\pi\varepsilon}\left(\frac{1}{r_A}-\frac{1}{r_B}\right),
multiplicando ambos os lados por Q
Q(V_A-V_B)=\frac{Q^2}{4\pi\varepsilon}\left(\frac{1}{r_A}-\frac{1}{r_B}\right).
  • Comparando com a expressão de U obtida no Passo 7 vemos que
U=\frac{1}{2}Q(V_A-V_B).
  • Usando a definição Q=C(V_A-V_B) segue
U=\frac{1}{2}C(V_A-V_B)^2.
Isto é exatamente a forma pedida para a energia armazenada no dielétrico entre as cascas.

Resposta

U=\frac{1}{2}\,C\,(V_A-V_B)^2
C=4\pi\varepsilon\,\frac{r_A r_B}{\,r_B-r_A\,}

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