Dois corpos, cada um constituído de pesos de um conjunto de pesos, são conectados por uma corda leve que passa sobre uma polia leve, sem atrito, e com diâmetro de 56,0 \mathrm{~mm}. Os dois corpos estão no mesmo nível. Cada corpo tem originariamente uma massa de 850 g .
a) Localize o centro de massa deles.
b) Trinta e quatro gramas são transferidos de um corpo para o outro, mas os corpos são impedidos de se mover. Localize o centro de massa deles.
c) Os dois corpos são agora liberados. Descreva o movimento do centro de massa e determine sua aceleração.

Passo 1

Resumo do enunciado: temos uma máquina de Atwood ideal (corda e polia sem massa nem atrito) com dois corpos inicialmente iguais de massa m_1=m_2=0{,}850\\ \text{kg} pendurados no mesmo nível. Definimos o eixo y positivo para baixo e a origem y=0 no nível desses corpos. Pede-se:
  • (a) posição do centro de massa (CoM) inicialmente;
  • (b) após transferir \Delta m=0{,}034\\ \text{kg} de um corpo para o outro, mas mantendo-os fixos;
  • (c) ao liberá-los, descrever o movimento do CoM e calcular sua aceleração.
Conteúdos usados: definição de CoM
y_{\rm cm}=\frac{\sum_i m_i y_i}{\sum_i m_i}
e fórmula da aceleração em máquina de Atwood
a=\frac{m_{\rm heavy}-m_{\rm light}}{m_{\rm heavy}+m_{\rm light}}\,g.

Passo 2

Definimos as posições verticais y_1 e y_2 dos corpos. Inicialmente ambos estão em y_1=y_2=0. Após transferência continuam em y_1=y_2=0 enquanto estão bloqueados.

Passo 3

(a) Inicialmente m_1=m_2=0{,}850\\ \text{kg} e y_1=y_2=0. Logo
y_{\rm cm} =\frac{m_1y_1+m_2y_2}{m_1+m_2} =\frac{0{,}850\cdot0+0{,}850\cdot0}{1{,}700} =0.

Passo 4

(b) Após transferir \Delta m=0{,}034\\ \text{kg}, temos
m_1=0{,}850+0{,}034=0{,}884\\ \text{kg}, \quad m_2=0{,}850-0{,}034=0{,}816\\ \text{kg},
mas y_1=y_2=0. Então
y_{\rm cm} =\frac{0{,}884\cdot0+0{,}816\cdot0}{1{,}700} =0.

Passo 5

(c) Ao liberar, o corpo de massa maior m_1 desce com
a =\frac{m_1-m_2}{m_1+m_2}\,g =\frac{0{,}884-0{,}816}{1{,}700}\,g =\frac{0{,}068}{1{,}700}\,g \approx0{,}040\,g \approx0{,}392\\ \text{m/s}^2.
Nesse sistema, y_1 acelera para baixo com +a e y_2 acelera para cima com -a. A aceleração do CoM é
a_{\rm cm} =\frac{m_1\,(+a)+m_2\,(-a)}{m_1+m_2} =\frac{m_1-m_2}{m_1+m_2}\;a =\Bigl(\frac{0{,}068}{1{,}700}\Bigr)^2\,g \approx(0{,}040)^2\,g \approx0{,}0157\\ \text{m/s}^2,
ou seja, o CoM também desce com aceleração 0{,}0157\\ \text{m/s}^2.

Resposta

a) y_{\rm cm}=0.
b) y_{\rm cm}=0.
c) O CoM desce com aceleração 0{,}0157\\ \text{m/s}^2.

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