E.2- Quantos e quais tensores podem ser criados a partir de um tensor contravariante de ordem 2? Escreva como obter tais tensores associados utilizando o tensor métrico.
Passo 1
O enunciado pede para, a partir de um tensor contravariante de ordem 2, digamos
, gerar todos os tensores associados obtendo índices covariantes com o tensor métrico. O conteúdo aqui é manipular índices usando o tensor métrico
(e sua inversa
), aplicando a regra de elevar/abaixar índices.
Passo 2
Lembremos que o tensor métrico
é um tensor covariante de ordem 2 não degenerado, com inversa
tal que
Para “abaixar” um índice de
usamos uma contração com
.
Passo 3
Para abaixar o segundo índice de
definimos um tensor misto de tipo
:
Aqui contraímos o índice
de
com o primeiro índice de
, deixando
contravariante e
covariante.
Passo 4
Para abaixar o primeiro índice de
obtemos outro tensor misto de tipo
:
Neste caso contraímos o segundo índice de
com o primeiro de
, de modo que sobra
contravariante e
covariante.
Passo 5
Para abaixar ambos os índices e obter um tensor totalmente covariante de ordem 2, fazemos duas contrações:
Resposta
Podemos criar três tensores associados a partir de
:
-
, de tipo abaixando o segundo índice. -
, de tipo abaixando o primeiro índice. -
, de tipo abaixando ambos os índices.