E.2- Quantos e quais tensores podem ser criados a partir de um tensor contravariante de ordem 2? Escreva como obter tais tensores associados utilizando o tensor métrico.

Passo 1

O enunciado pede para, a partir de um tensor contravariante de ordem 2, digamos \,T^{ij}, gerar todos os tensores associados obtendo índices covariantes com o tensor métrico. O conteúdo aqui é manipular índices usando o tensor métrico g_{ij} (e sua inversa g^{ij}), aplicando a regra de elevar/abaixar índices.

Passo 2

Lembremos que o tensor métrico g_{ij} é um tensor covariante de ordem 2 não degenerado, com inversa g^{ij} tal que
g^{ik}\,g_{kj} = \delta^i_j.
Para “abaixar” um índice de T^{ij} usamos uma contração com g_{ij}.

Passo 3

Para abaixar o segundo índice de T^{ij} definimos um tensor misto de tipo (1,1):
T^{i}{}_{j} \;=\; T^{ik}\;g_{kj}.
Aqui contraímos o índice k de T^{ik} com o primeiro índice de g_{kj}, deixando i contravariante e j covariante.

Passo 4

Para abaixar o primeiro índice de T^{ij} obtemos outro tensor misto de tipo (1,1):
T_{j}{}^{i} \;=\; g_{jk}\;T^{ki}.
Neste caso contraímos o segundo índice de g_{jk} com o primeiro de T^{ki}, de modo que sobra i contravariante e j covariante.

Passo 5

Para abaixar ambos os índices e obter um tensor totalmente covariante de ordem 2, fazemos duas contrações:
T_{ij} \;=\; g_{ik}\;g_{j\ell}\;T^{k\ell}.

Resposta

Podemos criar três tensores associados a partir de T^{ij}:
  1. T^{i}{}_{j} = T^{ik}\,g_{kj}, de tipo (1,1) abaixando o segundo índice.
  2. T_{j}{}^{i} = g_{jk}\,T^{ki}, de tipo (1,1) abaixando o primeiro índice.
  3. T_{ij} = g_{ik}\,g_{j\ell}\,T^{k\ell}, de tipo (0,2) abaixando ambos os índices.

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