E.3- Escreva as leis de transformação para os tensores:
(a) A_{n o p q}^{r}

Passo 1

O enunciado pede a lei de transformação de um tensor do tipo (1,4), isto é, um objeto com um índice contravariável r e quatro índices covariáveis n,o,p,q. Para resolver, vamos lembrar como variam os índices contra- e covariáveis sob mudança de coordenadas.

Passo 2

Sob uma transformação de coordenadas x^i\to x'^{i}, aplica-se a convenção de Einstein (soma sobre índices repetidos) e vale:
– cada índice contravariável “leva” um fator \displaystyle \frac{\partial x'^{\cdot}}{\partial x^{\cdot}};
– cada índice covariável “leva” um fator \displaystyle \frac{\partial x^{\cdot}}{\partial x'^{\cdot}}.

Passo 3

Denotando por A^{r}_{n o p q} o tensor original e por A'{}^{r}_{n o p q} o tensor nas coordenadas x', temos
A'{}^{r}_{n o p q} =\frac{\partial x'^{r}}{\partial x^{a}}\, \frac{\partial x^{b}}{\partial x'^{n}}\, \frac{\partial x^{c}}{\partial x'^{o}}\, \frac{\partial x^{d}}{\partial x'^{p}}\, \frac{\partial x^{e}}{\partial x'^{q}}\, A^{a}_{b c d e},
onde a,b,c,d,e são índices “fantasmas” repetidos que se somam conforme a convenção de Einstein.

Resposta

A'{}^{r}_{n o p q} =\frac{\partial x'^{r}}{\partial x^{a}}\, \frac{\partial x^{b}}{\partial x'^{n}}\, \frac{\partial x^{c}}{\partial x'^{o}}\, \frac{\partial x^{d}}{\partial x'^{p}}\, \frac{\partial x^{e}}{\partial x'^{q}}\, A^{a}_{b c d e}.

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