E.3- Escreva as leis de transformação para os tensores:
(a)
(a)
Passo 1
O enunciado pede a lei de transformação de um tensor do tipo
, isto é, um objeto com um índice contravariável
e quatro índices covariáveis
. Para resolver, vamos lembrar como variam os índices contra- e covariáveis sob mudança de coordenadas.
Passo 2
Sob uma transformação de coordenadas
, aplica-se a convenção de Einstein (soma sobre índices repetidos) e vale:
– cada índice contravariável “leva” um fator ;
– cada índice covariável “leva” um fator .
– cada índice contravariável “leva” um fator
– cada índice covariável “leva” um fator
Passo 3
Denotando por
o tensor original e por
o tensor nas coordenadas
, temos
onde
são índices “fantasmas” repetidos que se somam conforme a convenção de Einstein.