Mostre que o centro de massa de um anel semicircular uniforme de raio R e densidade linear de massa \lambda é 2 R / \pi.

Passo 1

O enunciado pede para encontrar o centro de massa de um anel semicircular de raio R e densidade linear uniforme \lambda. O objeto é um arco de círculo de abertura 180^\circ, simétrico em relação ao eixo vertical. Como a densidade é uniforme, vamos usar coordenadas polares para parametrizar o arco e calcular o momento estático em relação à origem.

Passo 2

Parametrizamos o arco semicircular por um ângulo \theta que varia de 0 a \pi. Cada elemento de massa é
dm = \lambda\,dl = \lambda\,(R\,d\theta)
e as coordenadas cartesianas desse elemento são
x = R\cos\theta,\quad y = R\sin\theta.

Passo 3

Por simetria, a abscissa do centro de massa vale zero, isto é,
\bar x = 0.
O valor de \bar y é dado por
\bar y = \frac{1}{M}\int y\,dm
onde a massa total do arco é
M = \int dm = \int_{0}^{\pi} \lambda\,R\,d\theta = \lambda\,R\,\pi.

Passo 4

Agora calculamos o momento estático em y:
\int_{0}^{\pi} y\,dm = \int_{0}^{\pi} \bigl(R\sin\theta\bigr)\,\bigl(\lambda\,R\,d\theta\bigr) = \lambda\,R^2 \int_{0}^{\pi} \sin\theta\,d\theta = \lambda\,R^2 \bigl[-\cos\theta\bigr]_{0}^{\pi} = \lambda\,R^2 (2).
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\bar y = \frac{1}{M}\,\bigl(\lambda\,R^2\cdot2\bigr) = \frac{\lambda\,R^2\cdot2}{\lambda\,R\,\pi} = \frac{2R}{\pi}.

Resposta

O centro de massa do anel semicircular está localizado no eixo de simetria, a uma distância
\frac{2R}{\pi}
acima do centro do círculo.

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