Mostre que o centro de massa de uma barra de massa M e comprimento L fica meio caminho entre suas extremidades, considerando que ela tenha massa uniforme por unidade de comprimento.

Passo 1

O enunciado pede para encontrar o centro de massa de uma barra fina de comprimento L e massa total M, com densidade de massa uniforme ao longo de seu comprimento. O conteúdo necessário é a definição de centro de massa unidimensional,
x_{\rm cm} = \frac{1}{M}\int x\,dm,
e o conceito de densidade linear de massa.

Passo 2

Como a barra é uniforme, a densidade de massa por unidade de comprimento é constante, dada por
\lambda = \frac{M}{L}.
Esse parâmetro relaciona um pequeno elemento de comprimento dx com sua massa dm.

Passo 3

Um pequeno trecho de barra, de comprimento dx, situado na posição x mede do ponto x=0, tem massa
dm = \lambda\,dx = \frac{M}{L}\,dx.

Passo 4

Substituindo dm na definição de centro de massa, obtemos
x_{\rm cm} = \frac{1}{M}\int_{0}^{L} x\,dm = \frac{1}{M}\int_{0}^{L} x\left(\frac{M}{L}\,dx\right) = \frac{1}{L}\int_{0}^{L} x\,dx.
Calculando a integral,
\int_{0}^{L} x\,dx = \left.\frac{x^{2}}{2}\right|_{0}^{L} = \frac{L^{2}}{2}.

Passo 5

Logo,
x_{\rm cm} = \frac{1}{L}\cdot\frac{L^{2}}{2} = \frac{L}{2}.
Isso mostra que o centro de massa fica exatamente no ponto médio da barra.

Resposta

O centro de massa da barra está em x = \tfrac{L}{2}, ou seja, a meio caminho entre as extremidades.

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