Q9: Dois corpos estão sobre uma superfície horizontal sem atrito. O primeiro objeto, de massa 5 kg , é propulsionado com velocidade escalar 4,5 \mathrm{~m} \mathrm{~s}^{-1} em direção ao segundo, de massa 2,5 \mathrm{~kg} que está em repouso. Depois da colisão, os dois corpos têm velocidades direcionadas a ângulos de 30^{\circ}. A colisão é elástica ou inelástica?

Passo 1

O enunciado diz que dois corpos, de massas m_1=5\\ \mathrm{kg} e m_2=2{,}5\\ \mathrm{kg}, estão sobre uma superfície horizontal sem atrito. O corpo m_1 parte com velocidade escalar inicial v_{1i}=4{,}5\\ \mathrm{m/s} em direção a m_2, que está em repouso. Após a colisão, ambos se afastam formando ângulos de 30^\circ em relação à direção original. A pergunta é se a colisão é elástica ou inelástica. Para responder, vamos aplicar conservação do momento linear vetorial (componentes x e y) e verificar se a energia cinética se conserva.

Passo 2

Escolhemos o eixo x na direção do lançamento e o eixo y perpendicular. Supondo que, após a colisão, m_1 se desvie para cima com velocidade v_1' a +30^\circ e m_2 para baixo com velocidade v_2' a -30^\circ, as incógnitas são \,v_1' e \,v_2'.

Passo 3

Aplicando conservação do momento em x:
m_1\,v_{1i} = m_1\,v_1'\cos30^\circ \;+\; m_2\,v_2'\cos30^\circ.
Em y:
0 = m_1\,v_1'\sin30^\circ \;-\; m_2\,v_2'\sin30^\circ.
Da equação em y segue
m_1\,v_1' = m_2\,v_2'.

Passo 4

De m_1\,v_1' = m_2\,v_2' vem
v_1' = \frac{m_2}{m_1}\,v_2' = 0{,}5\,v_2'.
Substituindo na equação de x:
m_1\,v_{1i} = \bigl(m_1\cdot0{,}5\,v_2' + m_2\,v_2'\bigr)\cos30^\circ = 5\,v_2'\,\frac{\sqrt3}{2}.
Então
v_2' = \frac{m_1\,v_{1i}}{5(\sqrt3/2)} = \frac{5\cdot4{,}5}{(5\sqrt3/2)} = \frac{22{,}5}{(5\sqrt3/2)} = \frac{45}{5\sqrt3} = \frac{9}{\sqrt3} = 3\sqrt3 \approx 5{,}2\\ \mathrm{m/s},
e
v_1' = 0{,}5\,v_2' = 1{,}5\sqrt3 \approx 2{,}6\\ \mathrm{m/s}.

Passo 5

Calculamos a energia cinética inicial:
E_{ci} = \tfrac12\,m_1\,v_{1i}^2 = \tfrac12\cdot5\cdot(4{,}5)^2 =2{,}5\cdot20{,}25 =50{,}625\\ \mathrm{J}.
E a energia cinética final:
E_{cf} = \tfrac12\,m_1\,(v_1')^2 + \tfrac12\,m_2\,(v_2')^2 =2{,}5\cdot(1{,}5\sqrt3)^2 +1{,}25\cdot(3\sqrt3)^2 =16{,}875 +33{,}75 =50{,}625\\ \mathrm{J}.
Como E_{ci}=E_{cf}, a energia cinética se conserva.

Passo 6

Conservamos tanto o momento vetorial quanto a energia cinética, logo a colisão é elástica.

Resposta

A colisão é elástica.

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