Q10: Uma granada de 800 g é lançada com uma velocidade escalar 12 \mathrm{~m} \mathrm{~s}^{-1} a um ângulo de 60^{\circ} do horizontal. No momento em que ele atinge o ápice de sua trajetória, ela explode em três partes, de massas 400 \mathrm{~g}, 300 \mathrm{~g} e 100 g . Depois da explosão, o primeiro fragmento sobe verticalmente com velocidade de 10 \mathrm{~m} \mathrm{~s}^{-1}, e o segundo fragmento tem velocidade ( 16 \mathbf{i} 10 \mathbf{j}) \mathrm{m} \mathrm{s}^{-1}.
Qual fragmento bate no chão primeiro? Encontre onde o fragmento mais leve atinge o solo, e sua velocidade.
R10 o segundo e terceiro batem simultaneamente; o fragmento mais leve bate no chão exatamente em baixo do ponto da explosão, com velocidade 14,4 \mathrm{~m} \mathrm{~s}^{-1} na direção vertical

Passo 1

O enunciado trata de lançamento oblíquo e conservação de momento linear num choque (explosão) sem forças externas significativas no instante. Temos uma granada de massa total 0,8\:\mathrm{kg} lançada com velocidade inicial escalar 12\:\mathrm{m/s} num ângulo de 60^\circ. No ápice da trajetória ela explode em três fragmentos de massas 0,4\:\mathrm{kg}, 0,3\:\mathrm{kg} e 0,1\:\mathrm{kg}. Após a explosão, os dois primeiros fragmentos ganha velocidades conhecidas, e o terceiro fica a determinar pela conservação de momento. Queremos:
  1. Saber qual fragmento bate no chão primeiro.
  2. Determinar onde o fragmento mais leve ( 0,1\:\mathrm{kg}) atinge o solo e sua velocidade de impacto.
Para resolver isso, vamos:
– Calcular altura do ápice e velocidade horizontal no ápice.
– Aplicar conservação de momento linear no instante da explosão para achar a velocidade do fragmento leve.
– Fazer o estudo de queda livre de cada fragmento para achar tempos de queda.
– Finalmente, achar posição horizontal e velocidade ao atingir o solo para o fragmento leve.

Passo 2

Calcular altura do ápice H e velocidade horizontal v_x no ápice.
A componente vertical da velocidade inicial é
v_{0y} = 12\sin(60^\circ) = 12 \times \tfrac{\sqrt{3}}{2} = 6\sqrt{3}\:\mathrm{m/s}\approx10{,}392\:\mathrm{m/s}.
O tempo até o ápice é \displaystyle t_A=\frac{v_{0y}}{g}=\frac{6\sqrt3}{9,8}\approx1{,}061\:\mathrm{s}.
A altura do ápice:
H=\frac{v_{0y}^2}{2g} =\frac{(6\sqrt3)^2}{2\cdot9,8} =\frac{108}{19,6}\approx5{,}51\:\mathrm{m}.
A componente horizontal da velocidade, que é constante durante a subida, vale
v_x = 12\cos(60^\circ)=12\times\tfrac12=6\:\mathrm{m/s}.

Passo 3

No instante da explosão, o centro de massa tinha velocidade (6\,\mathbf{i}+0\,\mathbf{j})\:\mathrm{m/s}. Após a explosão, sabe-se:
– Fragmento 1 ( 0,4\:\mathrm{kg}): \mathbf{v}_1=(0\,\mathbf{i}+10\,\mathbf{j})\:\mathrm{m/s}.
– Fragmento 2 ( 0,3\:\mathrm{kg}): \mathbf{v}_2=(16\,\mathbf{i}-10\,\mathbf{j})\:\mathrm{m/s}.
Seja \mathbf{v}_3=(v_{3x}\,\mathbf{i}+v_{3y}\,\mathbf{j}) a velocidade do fragmento leve ( 0,1\:\mathrm{kg}).
Aplicando conservação de momento linear em x e y:
Em x:
0,8\cdot6 = 0,4\cdot0 + 0,3\cdot16 + 0,1\,v_{3x} \quad\Longrightarrow\quad 4,8 = 4,8 + 0,1\,v_{3x} \quad\Longrightarrow\quad v_{3x}=0.
Em y:
0,8\cdot0 = 0,4\cdot10 + 0,3\cdot(-10) + 0,1\,v_{3y} \quad\Longrightarrow\quad 0 = 4 - 3 + 0,1\,v_{3y} \quad\Longrightarrow\quad v_{3y}=-10\:\mathrm{m/s}.
Logo o fragmento leve parte do ápice com \displaystyle\mathbf{v}_3=(0\,\mathbf{i}-10\,\mathbf{j})\:\mathrm{m/s}.

Passo 4

Determinar os tempos de queda dos fragmentos, usando movimento retilíneo uniformemente acelerado na vertical a partir de y=H. A equação da posição vertical é
y(t)=H + v_{y0}\,t - \tfrac12 g\,t^2.
Para fragmento 1: v_{y0}=+10\:\mathrm{m/s}, resolve-se
5,51 + 10\,t -4,9\,t^2 = 0 \quad\Longrightarrow\quad t_1\approx2{,}49\:\mathrm{s}.
Para fragmentos 2 e 3: v_{y0}=-10\:\mathrm{m/s}, resolve-se
5,51 -10\,t -4,9\,t^2 = 0 \quad\Longrightarrow\quad t_{2}=t_{3}\approx0{,}451\:\mathrm{s}.
Portanto, os fragmentos 2 e 3 atingem o chão simultaneamente e antes do fragmento 1.

Passo 5

Para o fragmento leve ( m=0,1\:\mathrm{kg}), temos v_{3x}=0, logo ele cai verticalmente do ponto de explosão. A posição horizontal de impacto é exatamente embaixo da explosão.
A velocidade vertical ao atingir o solo é
v_{y}(t_3)=v_{3y} - g\,t_3 = -10 -9,8\cdot0{,}451\approx -14{,}4\:\mathrm{m/s}.
Como não há componente horizontal, a velocidade de impacto é \displaystyle14{,}4\:\mathrm{m/s} para baixo.

Resposta

O segundo e o terceiro fragmentos batem no chão simultaneamente.
O fragmento mais leve atinge o solo exatamente sob o ponto da explosão, com velocidade de impacto de 14,4\:\mathrm{m/s} na direção vertical (para baixo).

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