Dois corpos de forma circular, a partir do repouso, descem um plano inclinado sem atrito, de altura H e inclinação theta. O primeiro corpo é uma esfera maciça de massa m1=M e raio R1, e o segundo corpo é um disco maciço de massa m2=2M e raio R2=2R1. Sabemos que os momentos de inércia dos corpos em relação aos seus eixos de rotação são dados por:
  • Para a esfera: I 1=25 m r^2
  • Para o disco: 12=12 m r^2
    Após descerem o plano inclinado, ambos os corpos começam a subir uma rampa de mesmo ângulo theta, mas de altura h, e são capazes de atingir diferentes alturas h, devido às suas diferenças nos momentos de inércia.
    Calcule a velocidade de cada corpo na base do plano inclinado, V1 para a esfera e V2para o disco, em função da altura h e da gravidade g. Lembre-se de que, ao longo da descida, a energia potencial gravitacional de cada corpo é convertida na soma da energia cinética translacional e rotacional.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem dois objetos redondos (uma esfera e um disco) que descem um plano inclinado sem atrito. A esfera tem massa $ m_1 = M $ e raio $ R_1 $, e o disco tem massa $ m_2 = 2M $ e raio $ R_2 = 2R_1 $. Os momentos de inércia são dados por:
  • Esfera: $ I_1 = \frac{2}{5} m r^{2} $
  • Disco: $ I_2 = \frac{1}{2} m r^{2} $
Depois de descerem o plano, eles sobem outra rampa do mesmo ângulo $ \theta $ até uma altura $ h m1 = M V_1 $ para a esfera e $ V_2 $ para o disco) em função de $ h $ e da gravidade $ g $. Para isso, vamos usar conceitos de conservação de energia, considerando energia potencial gravitacional, energia cinética translacional e rotacional.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a energia potencial gravitacional inicial é convertida em energia cinética durante a descida. A energia potencial inicial é dada por:
Ep = m g H
Mas no final da descida, essa energia se transforma em energia cinética translacional e rotacional:
Ep = Ecin, trans + Ecin, rot
Onde:
Ecin, trans = 12 m V^2
Ecin, rot = 12 I omega^2

Passo 3

Como os corpos estão rolando sem deslizar, a velocidade linear $ V $ está relacionada à velocidade angular $ \omega $ pela relação:
V
omega
Substituindo $ \omega $ na expressão da energia cinética rotacional:
V = omega r

Passo 4

Agora, juntando tudo na equação da conservação de energia:
m g H = 12 m V^2 + 12 Ir^2 V^2
m g H = 12 m V^2 (1 + Im r^2)
Vamos resolver essa equação para $ V $:
V
V^2 = 2 m g Hm (1 + Im r^2)
V^2 = 2 g H1 + Im r^2

Passo 5

Agora, vamos aplicar essa fórmula para cada corpo.
Para a esfera:
I1 = 25 m r^2
I1m r^2 = 25
Então:
V1 = raiz 2 g H1 + 25 = raiz 2 g H75 = raiz 10 g H7 = raiz 107 g H
Para o disco:
I2 = 12 m r^2
I2m r^2 = 12
Então:
V2 = raiz 2 g H1 + 12 = raiz 2 g H32 = raiz 4 g H3 = raiz 43 g H

Resposta

A velocidade na base do plano inclinado é:
V1 = raiz 107 g H
para a esfera, e
V2 = raiz 43 g H
para o disco.

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