Dois corpos de forma circular, a partir do repouso, descem um plano inclinado sem atrito, de altura H e inclinação
. O primeiro corpo é uma esfera maciça de massa m1=M e raio R1, e o segundo corpo é um disco maciço de massa m2=2M e raio R2=2R1. Sabemos que os momentos de inércia dos corpos em relação aos seus eixos de rotação são dados por:
- Para a esfera:
- Para o disco:
Após descerem o plano inclinado, ambos os corpos começam a subir uma rampa de mesmo ângulo
, mas de altura
, e são capazes de atingir diferentes alturas
, devido às suas diferenças nos momentos de inércia.
Calcule a velocidade de cada corpo na base do plano inclinado, V1 para a esfera e V2para o disco, em função da altura h e da gravidade g. Lembre-se de que, ao longo da descida, a energia potencial gravitacional de cada corpo é convertida na soma da energia cinética translacional e rotacional.
Após descerem o plano inclinado, ambos os corpos começam a subir uma rampa de mesmo ângulo
Calcule a velocidade de cada corpo na base do plano inclinado, V1 para a esfera e V2para o disco, em função da altura h e da gravidade g. Lembre-se de que, ao longo da descida, a energia potencial gravitacional de cada corpo é convertida na soma da energia cinética translacional e rotacional.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem dois objetos redondos (uma esfera e um disco) que descem um plano inclinado sem atrito. A esfera tem massa $ m_1 = M $ e raio $ R_1 $, e o disco tem massa $ m_2 = 2M $ e raio $ R_2 = 2R_1 $. Os momentos de inércia são dados por:
- Esfera: $ I_1 = \frac{2}{5} m r^{2} $
- Disco: $ I_2 = \frac{1}{2} m r^{2} $
Depois de descerem o plano, eles sobem outra rampa do mesmo ângulo $ \theta $ até uma altura $ h
V_1 $ para a esfera e $ V_2 $ para o disco) em função de $ h $ e da gravidade $ g $. Para isso, vamos usar conceitos de conservação de energia, considerando energia potencial gravitacional, energia cinética translacional e rotacional.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a energia potencial gravitacional inicial é convertida em energia cinética durante a descida. A energia potencial inicial é dada por:
Mas no final da descida, essa energia se transforma em energia cinética translacional e rotacional:
Onde:
Passo 3
Como os corpos estão rolando sem deslizar, a velocidade linear $ V $ está relacionada à velocidade angular $ \omega $ pela relação:
Substituindo $ \omega $ na expressão da energia cinética rotacional:
Passo 4
Agora, juntando tudo na equação da conservação de energia:
Vamos resolver essa equação para $ V $:
Passo 5
Agora, vamos aplicar essa fórmula para cada corpo.
Para a esfera:
Então:
Para o disco:
Então:
Resposta
A velocidade na base do plano inclinado é:
para a esfera, e
para o disco.