Duas partículas, A e B, de massas Ma e Mb movem-se em uma linha reta sobre uma superfície horizontal lisa e sem atrito. A partícula A, com velocidade inicial Va, colide frontalmente com a partícula B, que estava inicialmente em repouso. Após a colisão, as partículas seguem juntas, movendo-se como um único corpo.
- Determine a expressão da velocidade do sistema formado pelas partículas após a colisão.
- Qual é a fração da energia cinética inicial do sistema que foi dissipada durante o processo?
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de colisão de partículas! Aqui, estamos lidando com mecânica clássica, mais especificamente com conservação de momento e energia cinética. Precisaremos usar as fórmulas de momento linear para achar a velocidade das partículas após a colisão e depois comparar as energias cinéticas antes e depois para encontrar a fração dissipada.
Passo 2
Primeiro, vamos determinar a velocidade do sistema formado pelas partículas após a colisão. Como não há atrito e a superfície é lisa, a conservação do momento linear se aplica. Isso significa que o momento total antes da colisão é igual ao momento total após a colisão.
Passo 3
A fórmula para o momento linear ($ p $) é:
Onde:
- $ m $ é a massa
- $ v $ é a velocidade
Antes da colisão:
- A partícula A tem momento $ p_A = M_a \times V_a $
- A partícula B está em repouso, então $ p_B = M_b \times 0 = 0 $
Então, o momento total antes da colisão é:
Passo 4
Após a colisão, as partículas se movem juntas com uma velocidade comum $ V_f $. O momento total após a colisão é:
Passo 5
Pela conservação do momento, temos:
Agora, vamos resolver para $ V_f $:
Passo 6
Agora, vamos calcular a fração da energia cinética inicial que foi dissipada. Primeiro, calculamos a energia cinética inicial ($ KE_{inicial}
KE_{final} $).
A fórmula para energia cinética ($ KE $) é:
Passo 7
Energia cinética inicial:
Energia cinética final:
Substituindo $ V_f $ da Passo 5:
Simplificando:
Passo 8
Agora, a energia dissipada ($ \Delta KE $) é a diferença entre a energia cinética inicial e a final:
Substituindo os valores:
Fatorando $ \frac{1}{2} M_a V_a^2 $:
Simplificando a expressão dentro dos parênteses:
Então:
Passo 9
Para encontrar a fração da energia cinética dissipada em relação à inicial:
Substituindo $ \Delta KE $ e $ KE_{inicial} $:
Simplificando:
Resposta
- A velocidade do sistema após a colisão é:
- A fração da energia cinética inicial que foi dissipada é: