Duas partículas, A e B, de massas Ma e Mb movem-se em uma linha reta sobre uma superfície horizontal lisa e sem atrito. A partícula A, com velocidade inicial Va, colide frontalmente com a partícula B, que estava inicialmente em repouso. Após a colisão, as partículas seguem juntas, movendo-se como um único corpo.
  1. Determine a expressão da velocidade do sistema formado pelas partículas após a colisão.
  2. Qual é a fração da energia cinética inicial do sistema que foi dissipada durante o processo?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de colisão de partículas! Aqui, estamos lidando com mecânica clássica, mais especificamente com conservação de momento e energia cinética. Precisaremos usar as fórmulas de momento linear para achar a velocidade das partículas após a colisão e depois comparar as energias cinéticas antes e depois para encontrar a fração dissipada.

Passo 2

Primeiro, vamos determinar a velocidade do sistema formado pelas partículas após a colisão. Como não há atrito e a superfície é lisa, a conservação do momento linear se aplica. Isso significa que o momento total antes da colisão é igual ao momento total após a colisão.

Passo 3

A fórmula para o momento linear ($ p $) é:
p
Onde:
  • $ m $ é a massa
  • $ v $ é a velocidade
Antes da colisão:
  • A partícula A tem momento $ p_A = M_a \times V_a $
  • A partícula B está em repouso, então $ p_B = M_b \times 0 = 0 $
Então, o momento total antes da colisão é:
p = m times v

Passo 4

Após a colisão, as partículas se movem juntas com uma velocidade comum $ V_f $. O momento total após a colisão é:
Vf

Passo 5

Pela conservação do momento, temos:
Ma Va = (Ma + Mb) Vf
Agora, vamos resolver para $ V_f $:
Vf

Passo 6

Agora, vamos calcular a fração da energia cinética inicial que foi dissipada. Primeiro, calculamos a energia cinética inicial ($ KE_{inicial} KEinicial KE_{final} $).
A fórmula para energia cinética ($ KE $) é:
KEfinal

Passo 7

Energia cinética inicial:
KEinicial = 12 Ma Va^2
Energia cinética final:
KEfinal = 12 (Ma + Mb) Vf^2
Substituindo $ V_f $ da Passo 5:
Vf
Simplificando:
KEfinal = 12 (Ma + Mb) ( Ma VaMa + Mb )^2

Passo 8

Agora, a energia dissipada ($ \Delta KE $) é a diferença entre a energia cinética inicial e a final:
De
Substituindo os valores:
De
Fatorando $ \frac{1}{2} M_a V_a^2 $:
De
Simplificando a expressão dentro dos parênteses:
12 Ma Va^2
Então:
De

Passo 9

Para encontrar a fração da energia cinética dissipada em relação à inicial:
Fração dissipada = Deçã
Substituindo $ \Delta KE $ e $ KE_{inicial} $:
Deçã
Simplificando:
KEinicial çã

Resposta

  1. A velocidade do sistema após a colisão é:
Vf = Ma VaMa + Mb
  1. A fração da energia cinética inicial que foi dissipada é:
MbMa + Mb

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