\int x \operatorname{sen}^{2}\left(x^{2}\right) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int x \sin^2\bigl(x^2\bigr)\,dx.
O conteúdo aqui envolve uma substituição simples e a identidade de ângulo duplo para o seno ao quadrado.

Passo 2

Para simplificar, fazemos a substituição u = x^2. Então
du = 2x\,dx \quad\Longrightarrow\quad x\,dx = \tfrac12\,du.

Passo 3

Substituindo na integral original, fica
\int x \sin^2\bigl(x^2\bigr)\,dx = \frac12 \int \sin^2(u)\,du.

Passo 4

Aplicamos a identidade
\sin^2(u) = \frac{1 - \cos(2u)}{2},
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\frac12 \int \sin^2(u)\,du = \frac12 \int \frac{1 - \cos(2u)}{2}\,du = \frac14 \int \bigl(1 - \cos(2u)\bigr)\,du.

Passo 5

Integramos cada termo separadamente:
\int 1\,du = u, \qquad \int \cos(2u)\,du = \frac{\sin(2u)}{2}.
Portanto,
\frac14 \int \bigl(1 - \cos(2u)\bigr)\,du = \frac14\Bigl(u - \frac{\sin(2u)}{2}\Bigr) + C = \frac{u}{4} - \frac{\sin(2u)}{8} + C.

Passo 6

Voltando à variável x (com u = x^2), obtemos
\frac{x^2}{4} \;-\;\frac{\sin\bigl(2x^2\bigr)}{8} + C.

Resposta

\int x \sin^2\bigl(x^2\bigr)\,dx = \frac{x^2}{4} \;-\; \frac{\sin\bigl(2x^2\bigr)}{8} + C.

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