Questão 3 (2 pontos) Encontre a área delimitada pelas funções f(x)=x e g(x)=\operatorname{sen}(x) para x \in\left[\frac{\pi}{2}, \pi\right].

Passo 1

O enunciado pede a área delimitada pelas funções f(x)=x e g(x)=\sin(x) no intervalo \left[\tfrac{\pi}{2},\pi\right]. O conteúdo aqui é cálculo de área entre curvas, que usamos integrando a diferença entre as funções quando sabemos qual é maior.

Passo 2

Precisamos ver qual função fica acima no intervalo. Em x=\tfrac{\pi}{2} temos
\,f\bigl(\tfrac{\pi}{2}\bigr)=\tfrac{\pi}{2}\approx1,57 e \sin\bigl(\tfrac{\pi}{2}\bigr)=1,
e em x=\pi temos
\,f(\pi)=\pi\approx3,14 e \sin(\pi)=0.
Como x>\sin(x) em todo \left[\tfrac{\pi}{2},\pi\right], a área é
\displaystyle \int_{\pi/2}^{\pi}\bigl(x-\sin x\bigr)\,dx.

Passo 3

Montamos o integral da diferença:
A = \int_{\pi/2}^{\pi}\bigl(x-\sin x\bigr)\,dx.

Passo 4

Calculamos a primitiva de x-\sin x. Sabemos que
\int x\,dx = \tfrac12x^2, \qquad \int \sin x\,dx = -\cos x.
Logo
\int\bigl(x-\sin x\bigr)\,dx = \tfrac12x^2 + \cos x + C.

Passo 5

Avaliaremos em \pi/2 e em \pi:
em x=\pi: \tfrac12\pi^2 + \cos\pi = \tfrac12\pi^2 -1,
em x=\tfrac{\pi}{2}: \tfrac12\bigl(\tfrac{\pi}{2}\bigr)^2 + \cos\bigl(\tfrac{\pi}{2}\bigr) = \tfrac{\pi^2}{8} + 0.
Subtraindo,
A = \Bigl(\tfrac12\pi^2 -1\Bigr) - \tfrac{\pi^2}{8} = \tfrac{4\pi^2}{8} - \tfrac{\pi^2}{8} -1 = \tfrac{3\pi^2}{8} -1.

Resposta

\frac{3\pi^2}{8} - 1

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