Sejam
e
eventos de um espaço amostral. Sabe-se que
e
. Verifique se as seguintes afirmativas são verdadeiras. Justifique sua resposta.
a)
e
são mutuamente exclusivos;
b)
e
são independentes;
c)
e
são independentes;
d)
e
são mutuamente exclusivos;
e)
e
são independentes;
a)
b)
c)
d)
e)
Passo 1
O enunciado nos dá dois eventos
e
com
,
e
.
Vamos usar as definições:
– eventos mutuamente exclusivos satisfazem
Vamos usar as definições:
– eventos mutuamente exclusivos satisfazem
– eventos independentes satisfazem
Passo 2
Para (a) verificamos se
e
são mutuamente exclusivos. Pela definição precisaríamos ter
Mas sabemos que
. Portanto,
e
não são mutuamente exclusivos.
Passo 3
Para (b) verificamos se
e
são independentes. Calculamos o produto
e comparamos com
. Como os valores coincidem, concluímos que
e
são de fato independentes.
Passo 4
Para (c) checamos a independência entre
e
. Primeiro,
Em seguida,
E o produto das marginais é
Como
,
e
são independentes.
Passo 5
Para (d) verificamos se
e
são mutuamente exclusivos, o que exigiria
Mas calculamos
. Logo, não são mutuamente exclusivos.
Passo 6
Para (e) vemos se
e
são independentes. Sabemos que
por serem complementares, e
Como
, eles não são independentes.
Resposta
(a) Falsa
(b) Verdadeira
(c) Verdadeira
(d) Falsa
(e) Falsa
(b) Verdadeira
(c) Verdadeira
(d) Falsa
(e) Falsa