Sejam A e B eventos de um espaço amostral. Sabe-se que P(A)=0,3 ; P(B)=0,7 e P(A \cap B)=0,21. Verifique se as seguintes afirmativas são verdadeiras. Justifique sua resposta.
a) A e B são mutuamente exclusivos;
b) A e B são independentes;
c) A e B^{c} são independentes;
d) A e B^{c} são mutuamente exclusivos;
e) A e A^{c} são independentes;

Passo 1

O enunciado nos dá dois eventos A e B com
\,P(A)=0,3, \,P(B)=0,7 e \,P(A\cap B)=0,21.
Vamos usar as definições:
– eventos mutuamente exclusivos satisfazem
P(A\cap B)=0,
– eventos independentes satisfazem
P(A\cap B)=P(A)\,P(B).

Passo 2

Para (a) verificamos se A e B são mutuamente exclusivos. Pela definição precisaríamos ter
P(A\cap B)=0.
Mas sabemos que P(A\cap B)=0,21\neq0. Portanto, A e B não são mutuamente exclusivos.

Passo 3

Para (b) verificamos se A e B são independentes. Calculamos o produto
P(A)\,P(B)=0,3\cdot0,7=0,21
e comparamos com P(A\cap B)=0,21. Como os valores coincidem, concluímos que A e B são de fato independentes.

Passo 4

Para (c) checamos a independência entre A e B^{c}. Primeiro,
P(B^{c})=1-P(B)=1-0,7=0,3.
Em seguida,
P(A\cap B^{c})=P(A)-P(A\cap B)=0,3-0,21=0,09.
E o produto das marginais é
P(A)\,P(B^{c})=0,3\cdot0,3=0,09.
Como P(A\cap B^{c})=P(A)\,P(B^{c}), A e B^{c} são independentes.

Passo 5

Para (d) verificamos se A e B^{c} são mutuamente exclusivos, o que exigiria
P(A\cap B^{c})=0.
Mas calculamos P(A\cap B^{c})=0,09\neq0. Logo, não são mutuamente exclusivos.

Passo 6

Para (e) vemos se A e A^{c} são independentes. Sabemos que
P(A\cap A^{c})=0
por serem complementares, e
P(A)\,P(A^{c})=0,3\cdot(1-0,3)=0,3\cdot0,7=0,21\neq0.
Como P(A\cap A^{c})\neq P(A)\,P(A^{c}), eles não são independentes.

Resposta

(a) Falsa
(b) Verdadeira
(c) Verdadeira
(d) Falsa
(e) Falsa

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