Dois dados honestos (de seis faces) são lançados em sequência, em um experimento de probabilidade.
(a) Qual é a probabilidade de se obter mais de 10 pontos neste experimento?

Passo 1

O enunciado diz: foram lançados, em sequência, dois dados honestos de seis faces. A pergunta é: qual é a probabilidade de se obter mais de 10 pontos neste experimento? Informação relevante fornecida pelo enunciado:
  • Cada dado tem faces \{1,2,3,4,5,6\}.
  • Os lançamentos são em sequência (ou seja, a ordem importa: primeiro lançamento e segundo lançamento).
  • Os dois dados são honestos (justifica que todos os pares ordenados de faces são igualmente prováveis).
  • O evento de interesse é "a soma das faces obtidas é maior que 10".

Passo 2

Vamos descrever o espaço amostral. Cada resultado do experimento é um par ordenado (i,j), onde i é o número obtido no primeiro dado e j no segundo dado. Portanto os possíveis resultados são
\{1,2,3,4,5,6\}\times\{1,2,3,4,5,6\}.
Como existem 6 possibilidades para o primeiro dado e 6 para o segundo, o número total de resultados possíveis é
6\times 6=36.
Como os dados são honestos e o lançamento é em sequência, assumimos que cada um desses 36 pares ordenados tem probabilidade igual a \tfrac{1}{36}. (Isto é básico em contagem de probabilidade: quando todos os resultados são equiprováveis, a probabilidade de um evento é o número de casos favoráveis dividido pelo número total de casos.)

Passo 3

Definimos o evento que queremos: A=\{\text{soma das faces} > 10\}. Quais somas são maiores que 10? São apenas \,11 e \,12. Agora vamos enumerar, por soma, os pares ordenados que geram esses valores.
  • Soma igual a \,11: os pares ordenados possíveis são (5,6) e (6,5). (Verifique: 5+6=11 e 6+5=11. Não há outros pares com números entre 1 e 6 que somem 11.)
  • Soma igual a \,12: o único par ordenado possível é (6,6). (Verifique: 6+6=12.)
Eu usei que os pares vêm da lista de todas as combinações possíveis de (i,j) com i,j\in\{1,\dots,6\} — e contamos só os que satisfazem a condição da soma ser >10.

Passo 4

Contagem dos casos favoráveis: há 2 casos que somam 11 e 1 caso que soma 12. Assim o número de resultados favoráveis é
2+1=3.
Como cada resultado tem probabilidade \tfrac{1}{36}, a probabilidade do evento A é
P(A)=\frac{\text{nº casos favoráveis}}{\text{nº casos totais}}=\frac{3}{36}.ºáº

Passo 5

Simplificando a fração \tfrac{3}{36}:
\frac{3}{36}=\frac{1}{12}.
Em forma decimal periódica isso é aproximadamente \,0,083\overline{3} (ou seja, 0,083333\ldots). Uma interpretação intuitiva: entre os 36 resultados possíveis, apenas 3 dão soma maior que 10.

Passo 6

Verificação alternativa (dica prática que ajuda na prova): para somas de dois dados, o número de pares ordenados que resultam numa soma s é \min(s-1,\,13-s) para s\in\{2,\dots,12\}. Aplicando para s=11 \min(10,2)=2 e para s=12 \min(11,1)=1. Somando 2+1=3 temos o mesmo resultado, confirmando a contagem anterior.

Resposta

\dfrac{1}{12}

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