Seja
. Considere a função
Seja
uma variável aleatória com função de probabilidade p. Mostre que, para quaisquer dois inteiros positivos s e
,
Passo 1
Beleza, primeiramente vamos recapitular o que a questão pede. A gente tem uma variável aleatória discreta
que vale
com probabilidade
onde
. O enunciado quer que a gente mostre a famosa “propriedade de falta de memória” (memoryless) da geométrica, ou seja:
para quaisquer inteiros positivos
e
.
Conteúdo de matéria:
Conteúdo de matéria:
- Distribuição geométrica (versão que começa em 0).
- Probabilidade condicional.
- Soma de progressão geométrica para calcular probabilidades de cauda.
Passo 2
Lembra da definição de probabilidade condicional? Se
e
são eventos e
, então
Aqui vamos usar isso com
e
. Então
porque o evento “
e
” é o mesmo que “
”.
Passo 3
Agora precisamos calcular
para o nosso
.
Isso aí é uma soma de série geométrica infinita. A soma de
(com
) vale
. Então,
Passo 4
Substituindo no quociente que tínhamos:
Passo 5
Finalmente, vamos verificar que isso bate com
. Note que
Resposta
Portanto, mostramos direitinho que
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