Seja 0. Considere a função
Seja p(x)= l (1-a) a^x, se x=0,1,2, ldots 0, caso contrário uma variável aleatória com função de probabilidade p. Mostre que, para quaisquer dois inteiros positivos s e X,
t

Passo 1

Beleza, primeiramente vamos recapitular o que a questão pede. A gente tem uma variável aleatória discreta p(x) = (1-a),a^x, & x=0,1,2,dots, 0, & caso contrário, que vale P(X>s+t mid X>s) ;=; P(X>= t), com probabilidade
á
onde . O enunciado quer que a gente mostre a famosa “propriedade de falta de memória” (memoryless) da geométrica, ou seja:
para quaisquer inteiros positivos e .
Conteúdo de matéria:
  • Distribuição geométrica (versão que começa em 0).
  • Probabilidade condicional.
  • Soma de progressão geométrica para calcular probabilidades de cauda.

Passo 2

Lembra da definição de probabilidade condicional? Se P(Amid B) = P(Acap B)P(B) e P(X>s+t mid X>s) = Pl(X>s+tcapX>sr)P(X>s) = P(X > s+t)P(X > s), são eventos e , então
Aqui vamos usar isso com e . Então
porque o evento “ e ” é o mesmo que “ ”.

Passo 3

Agora precisamos calcular P(X>k) ;=; sumx=k+1^infty p(x) = sumx=k+1^infty(1-a),a^x para o nosso P(X>k) = (1-a),sumx=k+1^inftya^x = (1-a),a^,k+11-a = a^,k+1 .
Isso aí é uma soma de série geométrica infinita. A soma de (com ) vale . Então,

Passo 4

Substituindo no quociente que tínhamos:
P(X>s+t mid X>s) = P(X>s+t)P(X>s) = a^,s+t+1a^,s+1 = a^t

Passo 5

Finalmente, vamos verificar que isso bate com P(X>= t) = sumx=t^infty(1-a),a^x = (1-a),a^t1-a = a^t . Note que

Resposta

Portanto, mostramos direitinho que
P(X>s+t mid X>s) ;=; a^t e P(X>= t) ;=; a^t,
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boxedP(X>s+t mid X>s) = P(X>= t)

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