a) Sejam A1, A2 e A3 três eventos independentes. Mostre que A1^comp<=ment, A2 e A3 são independentes.
b) O que pode ser dito sobre A1, A2^comp<=ment e A3 ?
c) O que pode ser dito sobre a independência de B1, B2 e B3 onde .

Passo 1

A gente tem três eventos A1,A2,A3 mutuamente independentes, ou seja, além de cada par satisfazer P(Aicap Aj)=P(Ai)P(Aj), também vale P(A1cap A2cap A3)=P(A1)P(A2)P(A3). Vamos usar a definição de independência em duas e três vias.

Passo 2

Para mostrar que A1^comp<=ment,A2,A3 são independentes, calculamos a probabilidade do encontro dos três:
P(A1^comp<=mentcap A2cap A3)=P(A2cap A3)-P(A1cap A2cap A3)

Passo 3

Sabendo que P(A2cap A3)=P(A2)P(A3) e P(A1cap A2cap A3)=P(A1)P(A2)P(A3), temos
P(A1^comp<=mentcap A2cap A3)=P(A2)P(A3)(1-P(A1))=P(A1^comp<=ment)P(A2)P(A3)

Passo 4

De modo análogo, para cada par se verifica P(A1^comp<=mentcap Ai)=P(A1^comp<=ment)P(Ai) com i=2,3. Logo A1^comp<=ment,A2,A3 são independentes.

Passo 5

Para a parte b) repetimos o cálculo trocando A2 por A2^comp<=ment e vemos que também satisfaz todas as igualdades de independência. Na parte c), qualquer escolha BiinAi,Ai^comp<=ment preserva as mesmas contas, de modo que B1,B2,B3 serão independentes.

Resposta

a) São independentes.
b) Também são independentes.
c) Para qualquer escolha de BiinAi,Ai^comp<=ment, o triplo B1,B2,B3 é independente.

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