Uma pesquisa de assinantes de uma revista de automóveis mostrou que
alugaram um auto no momento de viagem do fim do ano, por motivos comerciais,
por motivos pesoais e
por ambos motivos.
- Qual é a probabilidade que um assinante da revista ter alugado um auto por razões comerciais ou pessoais?
- Qual é a probabilidade que um assinante da revista não ter alugado um auto por razões comerciais ou pessoais?
- Se pelo acaso o assinante alugou o auto por motivos pessoais, qual é a probabilidade que foi esta a unica razão?
Passo 1
O enunciado dá uma pesquisa com os seguintes dados (vou escrever cada número exatamente como foi dado, em matemática):
alugaram por motivos comerciais;
alugaram por motivos pessoais;
alugaram por ambos os motivos.
As perguntas são três:
As perguntas são três:
- Qual a probabilidade de um assinante ter alugado um auto por razões comerciais ou pessoais?
- Qual a probabilidade de um assinante não ter alugado um auto por razões comerciais ou pessoais?
- Dado que o assinante alugou por motivos pessoais, qual a probabilidade de que esse foi o único motivo?
Passo 2
Vou traduzir as situações em eventos, que é uma forma padrão e prática de trabalhar com probabilidade.
Defina os eventos:
Defina os eventos:
-
: “assinante alugou por motivos comerciais”. Aqui . -
: “assinante alugou por motivos pessoais”. Aqui . -
: “assinante alugou por ambos os motivos”. Aqui .
Agora as fórmulas que vamos usar (explicadas de forma simples):
- Probabilidade da união: a probabilidade de ocorrer
ou (ou ambos) é dada por
Intuição: somamos as probabilidades de cada evento, mas subtraímos a interseção porque ela ficou contada duas vezes na soma.
- Probabilidade do complemento: a probabilidade de não ocorrer nem
nem é o complemento da união:
Intuição: ou ocorreu algum motivo (união) ou não ocorreu nenhum (complemento); as duas possibilidades somam 1.
- Probabilidade condicional: a probabilidade de ter sido apenas pessoal, dado que foi pessoal, é
Aqui
é simplesmente
, porque os que são pessoais se dividem entre os que também tiveram comerciais e os que só foram pessoais.
Passo 3
Calcular
usando a fórmula da união. Substituindo os números:
Fazendo a conta:
Convertendo para porcentagem:
.
Passo 4
Calcular a probabilidade de não ter alugado por razões comerciais nem pessoais, isto é o complemento da união:
Convertendo para porcentagem:
.
Passo 5
Calcular a probabilidade condicional pedida: “se alugou por motivos pessoais, qual a probabilidade de ter sido esta a única razão”. Primeiro a probabilidade de “pessoal somente” é
Agora a condicional:
Simplificando a fração:
Em decimal:
, ou seja aproximadamente
. Podemos também deixar a resposta exata como a fração
.
Passo 6
Resumo dos resultados calculados (já obtidos nos passos anteriores), organizados de forma direta para checar rápido antes da resposta final.