Uma pesquisa de assinantes de uma revista de automóveis mostrou que 45.8 \% alugaram um auto no momento de viagem do fim do ano, por motivos comerciais, 54 \% por motivos pesoais e 30 \% por ambos motivos.
  • Qual é a probabilidade que um assinante da revista ter alugado um auto por razões comerciais ou pessoais?
  • Qual é a probabilidade que um assinante da revista não ter alugado um auto por razões comerciais ou pessoais?
  • Se pelo acaso o assinante alugou o auto por motivos pessoais, qual é a probabilidade que foi esta a unica razão?

Passo 1

O enunciado dá uma pesquisa com os seguintes dados (vou escrever cada número exatamente como foi dado, em matemática):
45{,}8\% alugaram por motivos comerciais; 54\% alugaram por motivos pessoais; 30\% alugaram por ambos os motivos.
As perguntas são três:
  1. Qual a probabilidade de um assinante ter alugado um auto por razões comerciais ou pessoais?
  2. Qual a probabilidade de um assinante não ter alugado um auto por razões comerciais ou pessoais?
  3. Dado que o assinante alugou por motivos pessoais, qual a probabilidade de que esse foi o único motivo?

Passo 2

Vou traduzir as situações em eventos, que é uma forma padrão e prática de trabalhar com probabilidade.
Defina os eventos:
  • C: “assinante alugou por motivos comerciais”. Aqui P\text{(C)}=45{,}8\%=0{,}458.
  • P: “assinante alugou por motivos pessoais”. Aqui P(P)=54\%=0{,}54.
  • C\cap P: “assinante alugou por ambos os motivos”. Aqui P(C\cap P)=30\%=0{,}30.
Agora as fórmulas que vamos usar (explicadas de forma simples):
  • Probabilidade da união: a probabilidade de ocorrer C ou P (ou ambos) é dada por
P(C\cup P)=P\text{(C)}+P(P)-P(C\cap P).
Intuição: somamos as probabilidades de cada evento, mas subtraímos a interseção porque ela ficou contada duas vezes na soma.
  • Probabilidade do complemento: a probabilidade de não ocorrer nem C nem P é o complemento da união:
P\big((C\cup P)^c\big)=1-P(C\cup P).
Intuição: ou ocorreu algum motivo (união) ou não ocorreu nenhum (complemento); as duas possibilidades somam 1.
  • Probabilidade condicional: a probabilidade de ter sido apenas pessoal, dado que foi pessoal, é
P(\text{pessoal somente}\mid P)=\frac{P(\text{pessoal somente} \cap P)}{P(P)}.
Aqui P(\text{pessoal somente} \cap P)=P(\text{pessoal somente}) é simplesmente P(P)-P(C\cap P), porque os que são pessoais se dividem entre os que também tiveram comerciais e os que só foram pessoais.

Passo 3

Calcular P(C\cup P) usando a fórmula da união. Substituindo os números:
P(C\cup P)=0{,}458+0{,}54-0{,}30.
Fazendo a conta:
0{,}458+0{,}54=0{,}998,
0{,}998-0{,}30=0{,}698.
Convertendo para porcentagem: 0{,}698=69{,}8\%.

Passo 4

Calcular a probabilidade de não ter alugado por razões comerciais nem pessoais, isto é o complemento da união:
P\big((C\cup P)^c\big)=1-0{,}698=0{,}302.
Convertendo para porcentagem: 0{,}302=30{,}2\%.

Passo 5

Calcular a probabilidade condicional pedida: “se alugou por motivos pessoais, qual a probabilidade de ter sido esta a única razão”. Primeiro a probabilidade de “pessoal somente” é
P(\text{pessoal somente})=P(P)-P(C\cap P)=0{,}54-0{,}30=0{,}24.
Agora a condicional:
P(\text{pessoal somente}\mid P)=\frac{0{,}24}{0{,}54}.
Simplificando a fração:
\frac{0{,}24}{0{,}54}=\frac{24}{54}=\frac{4}{9}.
Em decimal: \frac{4}{9}\approx0{,}444444\ldots, ou seja aproximadamente 44{,}44\%. Podemos também deixar a resposta exata como a fração \frac{4}{9}.

Passo 6

Resumo dos resultados calculados (já obtidos nos passos anteriores), organizados de forma direta para checar rápido antes da resposta final.

Resposta

69{,}8\%
30{,}2\%
\dfrac{4}{9}\approx44{,}44\%

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