Dois dispositivos eletrônicos com lei de falhas exponencial com média respectivamente 5 h e 10h são ligados em paralelos formando um único sistema e funcionando independentemente. Determinar:
a) A probabilidade de cada um dos dispositivos após 20 horas;
b) A probabilidade do sistema todo após 20 horas; Resp.: a) alpha=110 ; 0,135 e alpha=15: 0,0183 ; b) 0,1512.

Passo 1

O enunciado diz que temos dois dispositivos independentes cujos tempos de falha seguem distribuição exponencial com médias, respectivamente, 5 h e 10 h. Precisamos calcular a probabilidade de cada um sobreviver (não falhar) até 20 h e a probabilidade de o sistema em paralelo (funciona se pelo menos um dos dois funcionar) sobreviver até 20 h. Para isso vamos usar a função de sobrevivência da exponencial e a independência dos dispositivos.

Passo 2

Para uma exponencial com média theta a taxa é lambda=1/theta. Logo,
lambda1 = 15,h^-1,
lambda2 = 110,h^-1

Passo 3

A função de sobrevivência da exponencial é
S(t)=e^-lambda t
Em t=20 h:
S1(20)=e^-(1/5)cdot20=e^-4approx0,0183,
S2(20)=e^-(1/10)cdot20=e^-2approx0,1353

Passo 4

No paralelo basta que pelo menos um esteja ativo. Chamando Ps a probabilidade do sistema sobreviver 20 h, pela independência:
Ps = 1 - l(1 - S1(20)r)l(1 - S2(20)r)
Substituindo:
Ps = 1 - (1 - 0,0183)(1 - 0,1353)approx0,1512

Resposta

(a) Dispositivo com média 5 h: 0,0183.\nDispositivo com média 10 h: 0,1353.\n(b) 0,1512.

Exercícios relacionados