Dois estudantes A e B esão matriculados em um certo curso. Se o estudante A frequenta 80 por cento das aulas, e o estudante B 60 por cento e as ausências são independentes, qual é a probabilidade de:
- b) Dado que ao menos 1 dos estudantes esteja presente na aula um certo dia qual é a probabilidade que A esteja presente nesse dia?
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos diz que temos dois estudantes, A e B, que frequentam um curso. O estudante A assiste a 80% das aulas e o estudante B assiste a 60% das aulas. As ausências deles são independentes, ou seja, a presença de um não interfere na presença do outro. A questão quer saber: Dado que pelo menos um dos estudantes está presente na aula em um certo dia, qual é a probabilidade de que o estudante A esteja presente nesse dia?
Aqui, vamos usar conceitos de Probabilidade Condicional, que nos ajuda a encontrar a probabilidade de um evento ocorrer dado que outro evento já aconteceu.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os eventos envolvidos:
- Evento A: O estudante A está presente na aula.
- Evento B: O estudante B está presente na aula.
Sabemos que:
- $ P(A) = 0,8 $ (probabilidade de A estar presente)
- $ P(B) = 0,6 $ (probabilidade de B estar presente)
Como as ausências são independentes, a presença de A não afeta a presença de B e vice-versa.
Passo 3
Queremos encontrar a probabilidade de A estar presente dado que pelo menos um dos estudantes está presente. Isso é representado por:
Na linguagem matemática, usamos a probabilidade condicional, que é dada por:
Mas note que $ A \cap (A ou B) $ é simplesmente $ A $, já que se A está presente, automaticamente pelo menos um (A ou B) está presente.
Então, a fórmula fica:
Passo 4
Agora, precisamos calcular $ P(A ou B) $, que é a probabilidade de pelo menos um dos estudantes estar presente. Podemos calcular isso usando a fórmula da probabilidade da união de dois eventos:
Como A e B são independentes:
Vamos calcular passo a passo:
- $ P(A \cap B) = 0,8 \times 0,6 = 0,48 $
- $ P(A ou B) = 0,8 + 0,6 - 0,48 = 0,92 $
Passo 5
Agora que temos $ P(A) = 0,8 $ e $ P(A ou B) = 0,92 $, podemos substituir na fórmula da probabilidade condicional:
Calculando isso:
Resposta
A probabilidade de que o estudante A esteja presente, dado que pelo menos um dos estudantes está presente na aula, é aproximadamente 86,96%.