Em relação aos produtos similares, o tempo de reação de um novo medicamento segue aproximadamente distribuição Normal com desvio padrão sigma=2 minutos (somente a média mu é desconhecida). Com o objetivo de estimar o parâmetro desconhecido mu, foram selecionados uma amostra de 20 (vinte) pacientes, dessa população, para testar o novo medicamento. Após certo periodo, foram anotados seus tempos de reações. Os dados apresentados (em minutos) são: c(2.9,3.4,3.5,4.1,4.6,4.7,4.5,3.8,5.3,4.9,4.8, 5.7, 5.8, 3.4, 5.9, 6.3, 4.6, 5.5, 6.2).
Calcule a estimativa pontual para o parâmetro populacional ( mu) desconhecido, usando o estimador de máxima verossimilhança. Dê a interpretação para a estimativa pontual. Esta estimativa tem validade cientifica? Justifique.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício sobre estatística, mais especificamente sobre estimar a média de uma população que segue uma distribuição Normal. O desvio padrão ( sigma) é conhecido e vale 2 minutos, mas a média ( mu) é desconhecida. A gente coletou os tempos de reação de 20 pacientes para testar um novo medicamento e agora queremos estimar qual é essa média mu. Para isso, vamos usar o método de estimativa chamado Máxima Verossimilhança (Maximum Likelihood Estimation, MLE).

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é a Estimativa de Máxima Verossimilhança. Esse método procura encontrar o valor de mu que torna os dados observados mais “prováveis”. No caso de uma distribuição Normal com desvio padrão conhecido, o estimador de máxima verossimilhança para a média mu é simplesmente a média amostral. Ou seja:
mu = barx

Passo 3

Agora, vamos calcular a média amostral com os dados fornecidos. Os tempos de reação (em minutos) são:
2.9, 3.4, 3.5, 4.1, 4.6, 4.7, 4.5, 3.8, 5.3, 4.9, 4.8, 5.7, 5.8, 3.4, 5.9, 6.3, 4.6, 5.5, 6.2
Vamos somar todos esses valores e dividir pelo número de pacientes (20):
barx = 2.9 + 3.4 + 3.5 + 4.1 + 4.6 + 4.7 + 4.5 + 3.8 + 5.3 + 4.9 + 4.8 + 5.7 + 5.8 + 3.4 + 5.9 + 6.3 + 4.6 + 5.5 + 6.220
Calculando:
barx = 89.020 = 4.45

Passo 4

Então, a estimativa pontual para a média populacional mu é 4.45 minutos. Isso significa que, com base nos dados coletados dos 20 pacientes, a melhor estimativa para o tempo médio de reação ao novo medicamento é de aproximadamente 4.45 minutos.

Passo 5

Sobre a validade científica dessa estimativa: Sim, ela tem validade científica. Usar a estimativa de máxima verossimilhança é um método bem aceito e eficaz, especialmente quando a amostra é representativa e a distribuição dos dados é conhecida (neste caso, Normal). Além disso, como o desvio padrão é conhecido e a amostra tem um tamanho razoável (20 pacientes), podemos confiar que essa estimativa reflete bem a média real da população.

Resposta

A estimativa pontual para a média populacional mu é 4.45 minutos. Isso indica que, baseado nos 20 pacientes testados, o tempo médio de reação ao novo medicamento é aproximadamente 4.45 minutos. Essa estimativa é cientificamente válida, pois utiliza um método estatístico confiável e os dados coletados são representativos para a análise.

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