Em relação aos produtos similares, o tempo de reação de um novo medicamento segue aproximadamente distribuição Normal com desvio padrão sigma=2 minutos (somente a média mu é desconhecida). Com o objetivo de estimar o parâmetro desconhecido mu, foram selecionados uma amostra de 20 (vinte) pacientes, dessa população, para testar o novo medicamento. Após certo periodo, foram anotados seus tempos de reações. Os dados apresentados (em minutos) são: c(2.9,3.4,3.5,4.1,4.6,4.7,4.5,3.8,5.3,4.9,4.8, 5.7, 5.8, 3.4, 5.9, 6.3, 4.6, 5.5, 6.2).
De quanto deveria ser o tamanho amostral mínimo necessário para que, com probabilidade de 0.95, a média amostral X não se afaste da verdadeira média da população ( mu) em mais de pm 0.5 unidades, ou seja, P(|X-mu| <= 0.5) >= 0,95?

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Estamos lidando com estatística, mais especificamente com a estimativa do tamanho da amostra para estimar a média de uma população. A situação é a seguinte: temos um medicamento novo e queremos saber qual é o tempo médio de reação quando ele é usado. Sabemos que a dispersão dos tempos de reação segue uma distribuição Normal com desvio padrão σ = 2 minutos, mas a média μ ainda é desconhecida. O objetivo é determinar quantos pacientes precisamos testar para ter uma boa estimativa dessa média, garantindo que a média amostral não se desvie da verdadeira média da população em mais de ±0,5 minutos com 95% de confiança.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa ter uma confiança de 95% de que a média amostral está dentro de ±0,5 minutos da média real. Isso está relacionado ao intervalo de confiança para a média. Quando conhecemos o desvio padrão da população, usamos a distribuição Normal para calcular esse intervalo.
A fórmula para o intervalo de confiança da média é:
X̄ pm zalpha/2 cdot sigmaraizn
Onde:
  • $ X̄ $ é a média amostral,
  • $ z_{\alpha/2} $ é o valor crítico da distribuição Normal para o nível de confiança desejado,
  • $ \sigma $ é o desvio padrão da população,
  • $ n $ é o tamanho da amostra.

Passo 3

Nosso objetivo é garantir que a margem de erro ($ E $) seja de no máximo 0,5 minutos. A margem de erro é dada por:
E
Queremos que $ E \leq 0,5 $. Então, podemos reorganizar a fórmula para resolver $ n $:
E = zalpha/2 cdot sigmaraizn

Passo 4

Agora, precisamos encontrar o valor de $ z_{\alpha/2} $ para um nível de confiança de 95%. Esse valor corresponde ao percentil 97,5% da distribuição Normal (já que 95% de confiança deixa 2,5% em cada cauda).
Consultando a tabela da distribuição Normal, temos:
zalpha/2

Passo 5

Substituindo os valores conhecidos na inequação:
0,5 >= 1,96 cdot 2raizn
Vamos resolver para $ n $:
n
Multiplicando ambos os lados por $ \sqrt{n} $:
0,5 >= 3,92raizn
Dividindo ambos os lados por 0,5:
raizn
Elevando ambos os lados ao quadrado para eliminar a raiz:
0,5 cdot raizn >= 3,92

Resposta

Portanto, o tamanho amostral mínimo necessário é de 62 pacientes para garantir que, com 95% de confiança, a média amostral não se desvie da verdadeira média da população em mais de ±0,5 minutos.

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