Dois fabricantes fabricam uma engrenagem de plástico usada em uma impressora a laser. A resistência ao impacto (lbf-ft) dessas engrenagens é uma característica importante. Uma amostra aleatória de cada fornecedor foi tomada e os resultados (estatísticas) estão apresentados abaixo.
Fornecedor A
16
290
12
Fornecedor B
16
321
22
Discuta a adequação de cada um dos testes abaixo, quais afirmações são colocadas em teste, quais são as conclusões com base no valor-P e no intervalo de confiança, e qual você considera o mais indicado para esta situação, utilize
.
Teste 1
Teste 2
Teste 3
Hipótese nula
Hipótese alternativa
Estatistica do teste
Valor-P
Valor-p = 5.184E-05
Valor-p = 2.592E-05
Valor-p = 1
Intervalo de confiança
[-43.95 ; -18.04]
[-
; -20.26]
[-41.73;
]
a) Decisão e conclusão de cada um dos testes baseado no valor-p, e interpretação do intervalo de confiança.
b) Qual o teste mais indicado? Conclusão geral
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| Fornecedor A | 16 | 290 | 12 | |
| Fornecedor B | 16 | 321 | 22 |
| Teste 1 | Teste 2 | Teste 3 | |
| Hipótese nula |
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| Hipótese alternativa |
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| Estatistica do teste |
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| Valor-P | Valor-p = 5.184E-05 | Valor-p = 2.592E-05 | Valor-p = 1 |
| Intervalo de confiança | [-43.95 ; -18.04] | [-
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[-41.73;
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b) Qual o teste mais indicado? Conclusão geral
Passo 1
Dados fornecidos (vou usar os valores de estatística que você colocou na tabela):
- Amostras: fornecedor A com
, (lbf-ft), (lbf-ft). Fornecedor B com , (lbf-ft), (lbf-ft). - Diferença amostral:
(lbf-ft). - Na tabela você já tem a estatística do teste
, os valores-p: para o teste bilateral , para o unilateral à esquerda e para o unilateral à direita aproximadamente . A tabela também fornece intervalos: Teste 1 , Teste 2 , Teste 3 . (Estou usando explicitamente esses números da sua tabela quando os menciono.) - Nível de significância pedido:
.
O que o enunciado pede:
a) Decidir e concluir cada um dos testes baseando-se no valor-p e interpretar o intervalo de confiança.
b) Dizer qual teste é o mais indicado e dar a conclusão geral.
a) Decidir e concluir cada um dos testes baseando-se no valor-p e interpretar o intervalo de confiança.
b) Dizer qual teste é o mais indicado e dar a conclusão geral.
Passo 2
Como se obteve
(passo-a-passo didático): fórmula do teste de duas médias (Welch, variâncias não assumidas iguais)
Explicando as peças:
é a diferença observada entre médias;
e
são as variâncias amostrais divididas pelos tamanhos (contribuições das amostras ao erro padrão). Agora os números:
Somando e tirando raiz,
Então
Graus de liberdade aproximados (Welch–Satterthwaite), ensinando como calcular:
Substituindo:
Ou seja, usamos aproximadamente
graus de liberdade para obter valores-p e intervalos (isto explica por que os valores-p que você deu são muito pequenos).
Passo 3
O que é valor-p e como decidir (aula curta):
- O valor-p é a probabilidade, sob
, de observarmos uma estatística tão extrema quanto a observada (ou mais extrema) na direção da hipótese alternativa. - Regra de decisão: rejeitar
se o valor-p for menor que . Aqui .
Também sobre intervalos de confiança: um intervalo de confiança de nível
para
contém os valores de diferença de média compatíveis com os dados ao nível de confiança escolhido. Se o intervalo não contém
, isso indica evidência contra
no nível correspondente.
Passo 4
Teste 1 (bilateral): hipóteses
Valor-p (da sua tabela):
. Decisão pelo valor-p:
, então rejeitamos
. Conclusão (pelo teste): há evidência estatística forte, ao nível
, de que as médias dos dois fornecedores são diferentes.
Interpretação do intervalo (o da sua tabela é
): esse intervalo é totalmente negativo, o que indica que
é provavelmente negativo (ou seja,
). Observação importante: o intervalo da tabela parece ser um intervalo de confiança de
(metade da amplitude que teria um intervalo de
); como o enunciado pede
o apropriado é olhar um intervalo de
. Vou calcular o intervalo de
(usando
e
):
Interpretação do IC
: com
de confiança, a diferença verdadeira
está entre aproximadamente
e
lbf-ft. Como todo o intervalo é negativo, isso confirma que
com grande confiança.
Passo 5
Teste 2 (unilateral à esquerda): hipóteses
Valor-p (da sua tabela):
. Decisão:
, então rejeitamos
. Conclusão (pelo teste): há evidência muito forte de que
.
Interpretação do intervalo unilaterial (da tabela
): esse intervalo significa que, ao nível usado para construir o intervalo, temos um limite superior negativo — o que reforça a conclusão
. Novamente vou construir o intervalo unilaterial coerente com
(intervalo de confiança unilateral de
— isto é,
com o quantil
):
Portanto o IC unilateral
é aproximadamente
. Interpretação: com
de confiança a diferença
é menor ou igual a
. Ou seja, muito provavelmente
é pelo menos cerca de
lbf-ft menor que
.
Passo 6
Teste 3 (unilateral à direita): hipóteses
Valor-p (da sua tabela):
. Decisão:
, então não rejeitamos
. Conclusão (pelo teste): não há evidência de que
; de fato os dados vão fortemente em sentido contrário (média de A é menor), logo o teste não rejeita
.
A interpretação do intervalo unilaterial
da tabela indica que o limite inferior é negativo: ele é compatível com diferenças negativas e não apoia a hipótese de que
. Se construíssemos o IC unilateral
na direção oposta, obteríamos um limite inferior negativo (na prática o mesmo que o intervalo bilateral:
seria coerente), mostrando que não há suporte para
.
Passo 7
Adequação dos testes e recomendação (explicação prática e empática):
- Pressupostos necessários para validade do teste t de duas amostras: amostras independentes, cada população aproximadamente normal (importante porque cada amostra tem só
), e para o teste “poolado” adicionalmente se assume variâncias iguais. - Aqui as amostras são pequenas (
) e as variâncias amostrais são bastante diferentes ( ), o que sugere que não é seguro assumir variâncias iguais. Portanto o procedimento mais apropriado é o teste de Welch (que não assume igualdade de variâncias) — ele é robusto e foi o que gerou e os -values que você mostrou. Observação prática: como iguais, o erro padrão (SE) ficou igual ao do caso poolado por coincidência numérica, mas os graus de liberdade e, por consequência, os -values e os tamanhos dos intervalos dependem do ajuste de graus de liberdade; por segurança usamos Welch. - Sobre teste unilateral vs bilateral: só é correto usar um teste unilateral (por exemplo Teste 2 com
) se antes de olhar os dados você já tinha razão para esperar uma direção (por exemplo a hipótese prática é que A é menos resistente que B). Se não havia essa hipótese prévia, o teste correto é o bilateral (Teste 1). Statísticamente, escolher a unilateral depois de olhar para os dados é incorreto porque inflaria o erro do procedimento.
Conclusão prática recomendada para este caso:
- Se o interesse da empresa foi especificamente testar se A é pior que B (hipótese pré-especificada), o Teste 2 (Welch, unilateral
) é o mais indicado; ele rejeita ao nível com e o IC unilateral para é aproximadamente , então A é significativamente inferior a B por pelo menos cerca de lbf-ft com de confiança. - Se não havia hipótese direcional prévia, o Teste 1 (Welch, bilateral) é o indicado; ele também rejeita
( ) e o IC bilateral para é aproximadamente , mostrando diferença estatisticamente significativa e que é menor que .
Comentário final motivador: os dados mostram uma diferença média grande (31 lbf-ft) e estatisticamente robusta; você tem evidência forte (mesmo para
) de que as engrenagens do fornecedor A têm resistência média menor que as do fornecedor B. Se for questão de seleção de fornecedor, B parece superior; só verifique a normalidade com um gráfico (histograma / QQ-plot) ou um teste de normalidade rápido, porque com
essa checagem é prudente.
Resposta
Teste 1 (bilateral): Rejeita-se
porque
. Interpretação do IC: o IC bilateral mostrado na tabela
indica diferença negativa; o IC bilateral coerente com
(usando Welch,
) é aproximadamente
, então
.
Teste 2 (unilateral ): Rejeita-se
porque
. Interpretação do IC unilateral: tabela mostra
; o IC unilateral
coerente é aproximadamente
, confirmando que
.
Teste 3 (unilateral ): Não se rejeita
porque
. O intervalo unilaterial
da tabela não apoia
.
Teste mais indicado e conclusão geral: usar o teste de Welch (não assumir variâncias iguais). Se já existia hipótese direcional de que A é pior, o Teste 2 (Welch, unilateral ) é o mais adequado — ele rejeita
e indica que
é significativamente menor que
. Se não havia hipótese direcional prévia, usar o Teste 1 (Welch, bilateral), que também rejeita
; IC
para
é aproximadamente
. Em resumo: evidência forte de que as engrenagens do fornecedor A têm resistência média menor que as do fornecedor B.
Teste 2 (unilateral
Teste 3 (unilateral
Teste mais indicado e conclusão geral: usar o teste de Welch (não assumir variâncias iguais). Se já existia hipótese direcional de que A é pior, o Teste 2 (Welch, unilateral