Dois fabricantes fabricam uma engrenagem de plástico usada em uma impressora a laser. A resistência ao impacto (lbf-ft) dessas engrenagens é uma característica importante. Uma amostra aleatória de cada fornecedor foi tomada e os resultados (estatísticas) estão apresentados abaixo.
n \bar{x}[\mathrm{lbf}-\mathrm{ft}] s[\mathrm{lbf}-\mathrm{ft}]
Fornecedor A 16 290 12
Fornecedor B 16 321 22
Discuta a adequação de cada um dos testes abaixo, quais afirmações são colocadas em teste, quais são as conclusões com base no valor-P e no intervalo de confiança, e qual você considera o mais indicado para esta situação, utilize \alpha=0,01.
Teste 1 Teste 2 Teste 3
Hipótese nula H_{0}: \mu_{A}=\mu_{B} H_{0}: \mu_{A}=\mu_{B} H_{0}: \mu_{A}=\mu_{B}
Hipótese alternativa H_{1}: \mu_{A} \neq \mu_{B} H_{1}: \mu_{A}<\mu_{B} H_{1}: \mu_{A}>\mu_{B}
Estatistica do teste T_{0}=-4.948 T_{0}=-4.948 T_{0}=-4.948
Valor-P Valor-p = 5.184E-05 Valor-p = 2.592E-05 Valor-p = 1
Intervalo de confiança [-43.95 ; -18.04] [- \infty; -20.26] [-41.73; \infty ]
a) Decisão e conclusão de cada um dos testes baseado no valor-p, e interpretação do intervalo de confiança.
b) Qual o teste mais indicado? Conclusão geral

Passo 1

Dados fornecidos (vou usar os valores de estatística que você colocou na tabela):
  • Amostras: fornecedor A com n_A=16, \bar{x}_A=290 (lbf-ft), s_A=12 (lbf-ft). Fornecedor B com n_B=16, \bar{x}_B=321 (lbf-ft), s_B=22 (lbf-ft).
  • Diferença amostral: \bar{x}_A-\bar{x}_B=290-321=-31 (lbf-ft).
  • Na tabela você já tem a estatística do teste T_0=-4{,}948, os valores-p: para o teste bilateral 5{,}184\times10^{-5}, para o unilateral à esquerda 2{,}592\times10^{-5} e para o unilateral à direita aproximadamente 1. A tabela também fornece intervalos: Teste 1 [-43{,}95;\,-18{,}04], Teste 2 [-\infty;\,-20{,}26], Teste 3 [-41{,}73;\,\infty]. (Estou usando explicitamente esses números da sua tabela quando os menciono.)
  • Nível de significância pedido: \alpha=0{,}01.
O que o enunciado pede:
a) Decidir e concluir cada um dos testes baseando-se no valor-p e interpretar o intervalo de confiança.
b) Dizer qual teste é o mais indicado e dar a conclusão geral.

Passo 2

Como se obteve T_0 (passo-a-passo didático): fórmula do teste de duas médias (Welch, variâncias não assumidas iguais)
T_0=\frac{\bar{x}_A-\bar{x}_B}{\sqrt{\dfrac{s_A^2}{n_A}+\dfrac{s_B^2}{n_B}}}.
Explicando as peças: \bar{x}_A-\bar{x}_B é a diferença observada entre médias; s_A^2/n_A e s_B^2/n_B são as variâncias amostrais divididas pelos tamanhos (contribuições das amostras ao erro padrão). Agora os números:
\dfrac{s_A^2}{n_A}=\dfrac{12^2}{16}=\dfrac{144}{16}=9, \quad \dfrac{s_B^2}{n_B}=\dfrac{22^2}{16}=\dfrac{484}{16}=30{,}25.
Somando e tirando raiz,
\text{SE}=\sqrt{9+30{,}25}=\sqrt{39{,}25}=6{,}2649\\ (\text{lbf-ft}).
Então
T_0=\frac{-31}{6{,}2649}=-4{,}948\\ (\text{coincide com o valor que você deu}).ê
Graus de liberdade aproximados (Welch–Satterthwaite), ensinando como calcular:
\nu \approx \frac{(s_A^2/n_A+s_B^2/n_B)^2}{\dfrac{(s_A^2/n_A)^2}{n_A-1}+\dfrac{(s_B^2/n_B)^2}{n_B-1}}.
Substituindo:
\nu \approx \frac{39{,}25^2}{\dfrac{9^2}{15}+\dfrac{30{,}25^2}{15}} \approx \frac{1540{,}5625}{5{,}4+61{,}00417}\approx 23{,}20.
Ou seja, usamos aproximadamente \nu\approx 23{,}2 graus de liberdade para obter valores-p e intervalos (isto explica por que os valores-p que você deu são muito pequenos).

Passo 3

O que é valor-p e como decidir (aula curta):
  • O valor-p é a probabilidade, sob H_0, de observarmos uma estatística tão extrema quanto a observada (ou mais extrema) na direção da hipótese alternativa.
  • Regra de decisão: rejeitar H_0 se o valor-p for menor que \alpha. Aqui \alpha=0{,}01.
Também sobre intervalos de confiança: um intervalo de confiança de nível 100(1-\alpha)\% para \mu_A-\mu_B contém os valores de diferença de média compatíveis com os dados ao nível de confiança escolhido. Se o intervalo não contém 0, isso indica evidência contra H_0:\mu_A=\mu_B no nível correspondente.

Passo 4

Teste 1 (bilateral): hipóteses
H_0:\\ \mu_A=\mu_B \qquad H_1:\\ \mu_A\neq\mu_B.
Valor-p (da sua tabela): p=5{,}184\times 10^{-5}. Decisão pelo valor-p: p<0{,}01, então rejeitamos H_0. Conclusão (pelo teste): há evidência estatística forte, ao nível \alpha=0{,}01, de que as médias dos dois fornecedores são diferentes.
Interpretação do intervalo (o da sua tabela é [-43{,}95;\,-18{,}04]): esse intervalo é totalmente negativo, o que indica que \mu_A-\mu_B é provavelmente negativo (ou seja, \mu_A<\mu_B). Observação importante: o intervalo da tabela parece ser um intervalo de confiança de 95\% (metade da amplitude que teria um intervalo de 99\%); como o enunciado pede \alpha=0{,}01 o apropriado é olhar um intervalo de 99\%. Vou calcular o intervalo de 99\% (usando \nu\approx 23{,}2 e t_{0{,}995,\nu}\approx 2{,}807):
\text{margem}=2{,}807\cdot 6{,}2649\approx 17{,}59,
\text{IC }99\%\text{ para }\mu_A-\mu_B:\\ [-31-17{,}59,\\\ -31+17{,}59]=[-48{,}59;\\\ -13{,}41].
Interpretação do IC 99\%: com 99\% de confiança, a diferença verdadeira \mu_A-\mu_B está entre aproximadamente -48{,}6 e -13{,}4 lbf-ft. Como todo o intervalo é negativo, isso confirma que \mu_A<\mu_B com grande confiança.

Passo 5

Teste 2 (unilateral à esquerda): hipóteses
H_0:\\ \mu_A=\mu_B \qquad H_1:\\ \mu_A<\mu_B.
Valor-p (da sua tabela): p=2{,}592\times10^{-5}. Decisão: p<0{,}01, então rejeitamos H_0. Conclusão (pelo teste): há evidência muito forte de que \mu_A<\mu_B.
Interpretação do intervalo unilaterial (da tabela [-\infty;\,-20{,}26]): esse intervalo significa que, ao nível usado para construir o intervalo, temos um limite superior negativo — o que reforça a conclusão \mu_A<\mu_B. Novamente vou construir o intervalo unilaterial coerente com \alpha=0{,}01 (intervalo de confiança unilateral de 99\% — isto é, (-\infty,\\ \text{upper}] com o quantil t_{0{,}99,\nu}\approx 2{,}500):
\text{upper} = (\bar{x}_A-\bar{x}_B)+t_{0{,}99,\nu}\cdot\text{SE}\approx -31 + 2{,}500\cdot6{,}2649\approx -31 + 15{,}66 = -15{,}34.
Portanto o IC unilateral 99\% é aproximadamente (-\infty,\,-15{,}34]. Interpretação: com 99\% de confiança a diferença \mu_A-\mu_B é menor ou igual a -15{,}34. Ou seja, muito provavelmente \mu_A é pelo menos cerca de 15{,}3 lbf-ft menor que \mu_B.

Passo 6

Teste 3 (unilateral à direita): hipóteses
H_0:\\ \mu_A=\mu_B \qquad H_1:\\ \mu_A>\mu_B.
Valor-p (da sua tabela): p\approx 1. Decisão: p>0{,}01, então não rejeitamos H_0. Conclusão (pelo teste): não há evidência de que \mu_A>\mu_B; de fato os dados vão fortemente em sentido contrário (média de A é menor), logo o teste não rejeita H_0.
A interpretação do intervalo unilaterial [-41{,}73;\infty) da tabela indica que o limite inferior é negativo: ele é compatível com diferenças negativas e não apoia a hipótese de que \mu_A>\mu_B. Se construíssemos o IC unilateral 99\% na direção oposta, obteríamos um limite inferior negativo (na prática o mesmo que o intervalo bilateral: [-48{,}59;\infty) seria coerente), mostrando que não há suporte para \mu_A>\mu_B.

Passo 7

Adequação dos testes e recomendação (explicação prática e empática):
  • Pressupostos necessários para validade do teste t de duas amostras: amostras independentes, cada população aproximadamente normal (importante porque cada amostra tem só n=16), e para o teste “poolado” adicionalmente se assume variâncias iguais.
  • Aqui as amostras são pequenas ( n=16) e as variâncias amostrais são bastante diferentes ( s_B^2/s_A^2=484/144\approx 3{,}36), o que sugere que não é seguro assumir variâncias iguais. Portanto o procedimento mais apropriado é o teste de Welch (que não assume igualdade de variâncias) — ele é robusto e foi o que gerou T_0=-4{,}948 e os p-values que você mostrou. Observação prática: como n_A=n_B iguais, o erro padrão (SE) ficou igual ao do caso poolado por coincidência numérica, mas os graus de liberdade e, por consequência, os p-values e os tamanhos dos intervalos dependem do ajuste de graus de liberdade; por segurança usamos Welch.
  • Sobre teste unilateral vs bilateral: só é correto usar um teste unilateral (por exemplo Teste 2 com H_1:\mu_A<\mu_B) se antes de olhar os dados você já tinha razão para esperar uma direção (por exemplo a hipótese prática é que A é menos resistente que B). Se não havia essa hipótese prévia, o teste correto é o bilateral (Teste 1). Statísticamente, escolher a unilateral depois de olhar para os dados é incorreto porque inflaria o erro do procedimento.
Conclusão prática recomendada para este caso:
  • Se o interesse da empresa foi especificamente testar se A é pior que B (hipótese pré-especificada), o Teste 2 (Welch, unilateral \mu_A<\mu_B) é o mais indicado; ele rejeita H_0 ao nível \alpha=0{,}01 com p\approx 2{,}592\times10^{-5} e o IC unilateral 99\% para \mu_A-\mu_B é aproximadamente (-\infty,\,-15{,}34], então A é significativamente inferior a B por pelo menos cerca de 15 lbf-ft com 99\% de confiança.
  • Se não havia hipótese direcional prévia, o Teste 1 (Welch, bilateral) é o indicado; ele também rejeita H_0 ( p\approx 5{,}184\times10^{-5}<0{,}01) e o IC bilateral 99\% para \mu_A-\mu_B é aproximadamente [-48{,}59;\,-13{,}41], mostrando diferença estatisticamente significativa e que \mu_A é menor que \mu_B.
Comentário final motivador: os dados mostram uma diferença média grande (31 lbf-ft) e estatisticamente robusta; você tem evidência forte (mesmo para \alpha=0{,}01) de que as engrenagens do fornecedor A têm resistência média menor que as do fornecedor B. Se for questão de seleção de fornecedor, B parece superior; só verifique a normalidade com um gráfico (histograma / QQ-plot) ou um teste de normalidade rápido, porque com n=16 essa checagem é prudente.

Resposta

Teste 1 (bilateral): Rejeita-se H_0 porque p=5{,}184\times10^{-5}<0{,}01. Interpretação do IC: o IC bilateral mostrado na tabela [-43{,}95;\,-18{,}04] indica diferença negativa; o IC bilateral coerente com \alpha=0{,}01 (usando Welch, \nu\approx23{,}2) é aproximadamente [-48{,}59;\,-13{,}41], então \mu_A<\mu_B.
Teste 2 (unilateral \mu_A<\mu_B): Rejeita-se H_0 porque p=2{,}592\times10^{-5}<0{,}01. Interpretação do IC unilateral: tabela mostra (-\infty,\,-20{,}26]; o IC unilateral 99\% coerente é aproximadamente (-\infty,\,-15{,}34], confirmando que \mu_A<\mu_B.
Teste 3 (unilateral \mu_A>\mu_B): Não se rejeita H_0 porque p\approx 1>0{,}01. O intervalo unilaterial [-41{,}73;\infty) da tabela não apoia \mu_A>\mu_B.
Teste mais indicado e conclusão geral: usar o teste de Welch (não assumir variâncias iguais). Se já existia hipótese direcional de que A é pior, o Teste 2 (Welch, unilateral \mu_A<\mu_B) é o mais adequado — ele rejeita H_0 e indica que \mu_A é significativamente menor que \mu_B. Se não havia hipótese direcional prévia, usar o Teste 1 (Welch, bilateral), que também rejeita H_0; IC 99\% para \mu_A-\mu_B é aproximadamente [-48{,}59;\,-13{,}41]. Em resumo: evidência forte de que as engrenagens do fornecedor A têm resistência média menor que as do fornecedor B.

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