Dois fios longos e paralelos, cada um de raio a. cujos centros estio separados por uma distáncia d, slo percorridos por correntes iguais em sentidos opostos. Mostre que, desprezando o fluxo dentro dos próprios fios, a indutância por unidade de comprimento é dada por
L=\frac{\mu_{0}}{\pi} \ln \frac{d}{a}

Passo 1

O enunciado descreve dois fios cilíndricos longos e paralelos, cada um de raio a, com centros separados por uma distância d. Eles são percorridos por correntes iguais em módulo, mas em sentidos opostos. Queremos calcular a indutância por unidade de comprimento L, desprezando o fluxo interno a cada fio. Para isso vamos usar:
1. A expressão do campo magnético fora de um fio longo e retilíneo.
2. O conceito de fluxo magnético que liga o circuito formado pelos dois fios.
3. A definição de indutância \displaystyle L=\frac{\Phi_{\text{total}}}{I}.

Passo 2

O campo magnético a uma distância r do eixo de um único fio percorrido por corrente I é dado por
B(r)=\frac{\mu_{0}\,I}{2\pi\,r}\quad(r\ge a).
Entre as superfícies dos dois fios (isto é, para r variando de a até d-a, medido a partir do centro de um fio), o campo de cada fio aponta de modo que seus módulos se somam no espaço entre eles.

Passo 3

O fluxo magnético por unidade de comprimento, devido a um fio, que atravessa a região entre os fios é
\Phi_{1}=\int_{r=a}^{\,r=d-a}B(r)\,dr =\int_{a}^{\,d-a}\frac{\mu_{0}I}{2\pi\,r}\,dr =\frac{\mu_{0}I}{2\pi}\ln\frac{d-a}{a}.

Passo 4

Como o circuito completo (ida num fio e volta no outro) recebe fluxo de ambos os fios, o fluxo total por unidade de comprimento é
\Phi_{\text{total}} =2\,\Phi_{1} =\frac{\mu_{0}I}{\pi}\ln\frac{d-a}{a}.
Desprezando o término -a dentro do logaritmo (ou seja, assumindo d\gg a), aproximamos \ln\frac{d-a}{a}\approx\ln\frac{d}{a}.

Passo 5

Pela definição de indutância por unidade de comprimento,
L=\frac{\Phi_{\text{total}}}{I} =\frac{\mu_{0}}{\pi}\ln\frac{d}{a}.

Resposta

L=\frac{\mu_{0}}{\pi}\ln\frac{d}{a}.

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