Sabendo que a energia potencial de um corpo em funçăo da posição é dada por U(z)=5 z^{2}-z^{4}, onde a energia potencial está em joules e a posiçăo em metros, determine as posiçōes dos pontos de equilibrio.

Passo 1

O enunciado fornece a energia potencial de um corpo em função da posição z,
U(z)=5\,z^{2}-z^{4},
e pede os pontos de equilíbrio. Em mecânica, pontos de equilíbrio ocorrem onde a força resultante é zero. Como a força é F(z)=-\dfrac{dU}{dz}, basta encontrar onde \dfrac{dU}{dz}=0.

Passo 2

Calculamos a derivada de U(z) em relação a z:
\frac{dU}{dz} =\frac{d}{dz}\bigl(5\,z^{2}-z^{4}\bigr) =10\,z-4\,z^{3}.

Passo 3

Impondo \dfrac{dU}{dz}=0 temos
10\,z-4\,z^{3}=0 \quad\Longrightarrow\quad z\,(10-4\,z^{2})=0.
Dessa fatoração seguem as soluções
z=0 \quad\text{ou}\quad 10-4\,z^{2}=0 \;\Longrightarrow\; z^{2}=\frac{10}{4}=\frac{5}{2} \;\Longrightarrow\; z=\pm\sqrt{\frac{5}{2}}.

Resposta

As posições de equilíbrio são
z=0,\quad z=+\sqrt{\frac{5}{2}},\quad z=-\sqrt{\frac{5}{2}} \quad\text{(em metros).}

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