4- ( 1,5 ponto) A bobina de Helmholtz é formada por duas bobinas circulares de mesmo raio R e mesmo número de espiras N . As bobinas são alinhadas em paralelo uma com a outra, à uma distância d igual ao seu raio R. Considere uma bobina com 40 espiras e 50 mm de raio. Calcule o campo magnético nas posições indicadas na tabela e construa o gráfico de B em função de x quando a corrente que passar na bobina for de 1 A .
x(m) B(G)
-0,09
-0,06
-0,03
0

Passo 1

O enunciado pede o campo magnético na linha de centro de um par de bobinas de Helmholtz, separadas por d=R, cada uma com N=40 espiras, raio R=50\:\mathrm{mm} e corrente I=1\:\mathrm{A}. O conteúdo é o cálculo do campo no eixo de um par de bobinas usando a superposição dos campos de cada bobina circula—ou seja, aplicação direta da lei de Biot–Savart para bobina no eixo.

Passo 2

Em geral, o campo magnético no eixo de duas bobinas idênticas, cada uma com N espiras e raio R, separadas por d, situadas em x=\pm d/2, é
B(x)=\frac{\mu_{0}NI R^{2}}{2}\Bigl[\frac{1}{\bigl(R^{2}+(x-\tfrac{d}{2})^{2}\bigr)^{3/2}}+\frac{1}{\bigl(R^{2}+(x+\tfrac{d}{2})^{2}\bigr)^{3/2}}\Bigr].
Aqui adotamos \mu_{0}=4\pi\times10^{-7}\:\mathrm{H/m}.

Passo 3

Vamos aos valores numéricos e às conversões de unidade: \,R=50\:\mathrm{mm}=0,05\:\mathrm{m}, d=R=0,05\:\mathrm{m}, d/2=0,025\:\mathrm{m}, N=40, I=1\:\mathrm{A}. O prefactor comum é
\frac{\mu_{0}NI R^{2}}{2} =\frac{(4\pi\times10^{-7})(40)(1)(0,05)^{2}}{2} =6,2832\times10^{-8}\:\mathrm{T\cdot m^{3}}.

Passo 4

Cálculo de B em x=-0,09\:\mathrm{m}: x-\tfrac{d}{2}=-0,115, x+\tfrac{d}{2}=-0,065.
B(-0,09) =6{,}2832\times10^{-8}\Bigl[\frac{1}{\bigl(0,05^{2}+(-0,115)^{2}\bigr)^{3/2}} +\frac{1}{\bigl(0,05^{2}+(-0,065)^{2}\bigr)^{3/2}}\Bigr] \approx1{,}46\times10^{-4}\:\mathrm{T}.

Passo 5

Cálculo de B em x=-0,06\:\mathrm{m}: x-\tfrac{d}{2}=-0,085, x+\tfrac{d}{2}=-0,035.
B(-0,06)\approx6{,}2832\times10^{-8}\Bigl[\frac{1}{(0,05^{2}+0,085^{2})^{3/2}} +\frac{1}{(0,05^{2}+0,035^{2})^{3/2}}\Bigr] \approx3{,}42\times10^{-4}\:\mathrm{T}.

Passo 6

Cálculo de B em x=-0,03\:\mathrm{m}: x-\tfrac{d}{2}=-0,055, x+\tfrac{d}{2}=-0,005.
B(-0,03)\approx6{,}2832\times10^{-8}\Bigl[\frac{1}{(0,05^{2}+0,055^{2})^{3/2}} +\frac{1}{(0,05^{2}+0,005^{2})^{3/2}}\Bigr] \approx6{,}49\times10^{-4}\:\mathrm{T}.

Passo 7

Cálculo de B em x=0: x\pm\tfrac{d}{2}=\pm0,025. Como os termos são iguais,
B(0)=6{,}2832\times10^{-8}\times2\frac{1}{(0,05^{2}+0,025^{2})^{3/2}} \approx7{,}19\times10^{-4}\:\mathrm{T}.

Passo 8

Convertendo para gauss 1\:\mathrm{T}=10^{4}\:\mathrm{G} e organizando na tabela:
\begin{array}{|c|c|} \hline x\:(\mathrm{m}) & B\:(\mathrm{G})\\hline -0,09 & 1{,}46\\hline -0,06 & 3{,}42\\hline -0,03 & 6{,}49\\hline \;\;0 & 7{,}19\\hline \end{array}

Passo 9

Para esboçar o gráfico de B versus x, coloque no eixo horizontal os valores de x e no vertical B em gauss. Marque os pontos (-0,09;1,46), (-0,06;3,42), (-0,03;6,49) e (0;7,19) e una-os suavemente. O perfil é simétrico em torno de x=0, atinge máximo de 7,19\:\mathrm{G} em x=0 e decresce nas extremidades.

Resposta

x (m) \quad \quad B (G) \
- 0,09 \quad 146 \
- 0,06 \quad 142 \
- 0,03 \quad 4907,19 \
Gráfico: curva suave, simétrica em x=0, passando pelos pontos acima.

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