Use a derivada implícita para determinar d^2 yd x^2.
y^2=e^x^2+2 x

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos a equação e precisamos encontrar a segunda derivada de em relação a , ou seja, . Para isso, vamos usar a derivada implícita, que é uma técnica útil quando está misturado com em uma equação.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a primeira derivada ddx(y^2) = ddx(e^x^2 + 2x) . Para isso, vamos diferenciar ambos os lados da equação em relação a :

Passo 3

Aplicando as regras de derivação, começamos pelo lado esquerdo:
ddx(y^2) = 2y cdot dydx
No lado direito, derivamos termo a termo:
ddx(e^x^2) = e^x^2 cdot 2x e ddx(2x) = 2
Então, o lado direito fica:
2x e^x^2 + 2

Passo 4

Agora, juntando os dois lados da equação derivada:
2y cdot dydx = 2x e^x^2 + 2
Para isolar dydx = 2x e^x^2 + 22y , dividimos ambos os lados por dydx = x e^x^2 + 1y :
Simplificando:

Passo 5

Agora, vamos encontrar a segunda derivada d^2 ydx^2 = ddx( x e^x^2 + 1y ) . Para isso, precisamos derivar novamente em relação a :

Passo 6

Aplicamos a regra do quociente para derivar essa expressão. A regra do quociente diz que se temos ddx( uv ) = u'v - uv'v^2 , então a derivada é:
u = x e^x^2 + 1 e v = y
Aplicando isso na nossa expressão:
u' = e^x^2 + 2x^2 e^x^2
Primeiro, derivamos :
E .

Passo 7

Substituímos d^2 ydx^2 = (e^x^2 + 2x^2 e^x^2) y - (x e^x^2 + 1) cdot x e^x^2 + 1yy^2 e d^2 ydx^2 = (e^x^2 + 2x^2 e^x^2) y^2 - (x e^x^2 + 1)^2y^3 na fórmula do quociente:
Simplificando a expressão:

Resposta

A segunda derivada de d^2 ydx^2 = (e^x^2 + 2x^2 e^x^2) y^2 - (x e^x^2 + 1)^2y^3 em relação a é:

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