Dois grupos de alunos das áreas de exatas e biológicas da UFSCar foram selecionados para uma prova classificatória para o Tusca daquele ano. As pontuações finais de cada aluno foram:
X= pontos da equipe dos curso de exatas
\begin{array}{llllllllllllllll}6,1 & 5,6 & 7,1 & 3,1 & 6,8 & 8,0 & 4,1 & 5,5 & 4,8 & 5,7 & 2,2 & 7,4 & 6,2 & 5,7 & 2.9 & 6,8\end{array}
Y= pontos da equipe dos curso de biológicas
\begin{array}{lllllllllllllllllllll}3,4 & 8,5 & 8,3 & 6,1 & 9,2 & 5,4 & 7,7 & 8,4 & 5,3 & 8,5 & 4,8 & 4,0 & 4,4 & 6,8 & 4,6 & 8,7 & 6,4 & 6,0 & 7,0 & 7,3 & 5,7\end{array} \quad 6,1
\begin{array}{llll}6,1 & 8,1 & 7,5 & 4,7\end{array}
Dados: \sum x_{i}=88,0, \sum y_{i}=169,0, s_{x}^{2}=2,84, s_{y}^{2}=2,68, \nu=31,17 e s_{p}^{2}=2,74.
a) Defina as hipóteses para comparar o desempenho dos dois grupos de alunos com um teste unilateral.
b) Com um \alpha=0,05, podemos afirmar que um dos dois grupos de alunos teve desempenho melhor?
(Dê a resposta interpretando adequadamente o resultado do teste.)
c) Determine o valor p aproximado para o teste.

Passo 1

O enunciado fornece duas amostras independentes: uma de exatas com n_X=16 e outra de biológicas com n_Y=26. Queremos comparar as médias verdadeiras \mu_X e \mu_Y usando um teste t unilateral. Os dados resumidos são \sum x_i=88{,}0, \sum y_i=169{,}0, s_X^2=2{,}84, s_Y^2=2{,}68, graus de liberdade aproximados de Welch \nu=31{,}17 e variância agrupada (caso de variâncias iguais) s_p^2=2{,}74.

Passo 2

Definimos a hipótese nula e alternativa de forma unilateral para verificar se o grupo de biológicas teve média maior que o de exatas. Em termos de \delta=\mu_X-\mu_Y:
H_0:\\ \delta=0
H_1:\\ \delta<0
Isto equivale a testar H_0:\mu_X=\mu_Y contra H_1:\mu_X<\mu_Y.

Passo 3

Calculamos as médias amostrais e a estatística de teste pelo procedimento de Welch (variâncias diferentes):
\bar x = \frac{88{,}0}{16}=5{,}5, \quad \bar y=\frac{169{,}0}{26}=6{,}5.
O erro padrão da diferença é
SE = \sqrt{\frac{s_X^2}{n_X}+\frac{s_Y^2}{n_Y}} =\sqrt{\frac{2{,}84}{16}+\frac{2{,}68}{26}} \approx0{,}5297.
Logo
t_{\rm obs} =\frac{\bar x-\bar y}{SE} =\frac{5{,}5-6{,}5}{0{,}5297} \approx -1{,}888.

Passo 4

Para \alpha=0{,}05 e \nu=31{,}17, o valor crítico unilátero é
t_{0,05;\,31{,}17}\approx -1{,}695.
Rejeitamos H_0 se t_{\rm obs}\le -1{,}695. Como
t_{\rm obs}=-1{,}888< -1{,}695,
rechçamos H_0 e concluímos que o grupo de biológicas tem média significativamente maior.

Passo 5

O p-valor unilateral é
p = P\bigl(T_{\nu}\le -1{,}888\bigr)\approx0{,}033.

Resposta

a) H_0:\mu_X=\mu_Y H_1:\mu_X<\mu_Y
b)
Como t_{\rm obs}=-1,888 está na região de rejeição <-1,695, rejeitamos H_0 ao nível \alpha=0{,}05. Logo, o grupo de biológicas teve desempenho (média) superior ao de exatas.
c) p\approx0{,}033.

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