Um sistema automático para acionamento de uma bomba injetora foi colocado em operação. O supervisor recebeu a instrução para aprovar o sistema se a sua eficiência for de pelo menos 98 \%. Para testar o sistema o supervisor realizou 400 acionamentos, dos quais 384 ocorrem com sucesso.
a) Determinar uma estimativa pontual da eficiência do novo sistema.
b) Faça um teste de hipótese para alicerçar a decisão do supervisor. O que ele deve indicar?
(Dê a resposta interpretando adequadamente o resultado do teste.)
c) Você acha válido considerar a variância conservadora para esse caso? Justifique.

Passo 1

O enunciado pede (a) uma estimativa pontual da eficiência do sistema, (b) um teste de hipótese para verificar se a eficiência é ao menos 98 % e (c) comentar se faz sentido usar variância conservadora (máxima) neste caso. O conteúdo envolve estimação de proporção e teste z para uma proporção.

Passo 2

A estimativa pontual da eficiência é simplesmente a proporção de sucessos na amostra. Dos 400 acionamentos, houve 384 sucessos, logo
\hat{p} = \frac{384}{400} = 0{,}96.

Passo 3

Para testar se a eficiência é pelo menos 98 %, formulamos
H_0: p \ge 0{,}98 \quad\text{versus}\quad H_1: p < 0{,}98,
onde p é a eficiência real. Sob H_0 usamos p_0=0{,}98 para o desvio-padrão:
\sigma_{\hat p} = \sqrt{\frac{p_0(1-p_0)}{n}} = \sqrt{\frac{0{,}98\,(1-0{,}98)}{400}} = \sqrt{\frac{0{,}0196}{400}} =0{,}007.
O estatístico z é
z = \frac{\hat p - p_0}{\sigma_{\hat p}} = \frac{0{,}96 - 0{,}98}{0{,}007} \approx -2{,}857.
Como é teste unilateral à esquerda, a p-valor é
\text{p-valor} = P(Z < -2{,}857) \approx 0{,}0021.

Passo 4

Comparando com um nível de significância típico \alpha=0{,}05, temos \text{p-valor}<\alpha. Assim rejeitamos H_0 em favor de H_1: não há evidência de que a eficiência seja ao menos 98 %. O supervisor deve não aprovar o sistema.

Passo 5

A “variância conservadora” (usando p=0{,}5, que maximiza p(1-p)) é recomendada apenas ao planejar tamanho de amostra sem nenhuma ideia de p. Aqui já estimamos \hat p=0{,}96 e usamos p_0=0{,}98 no teste, fornecendo desvio-padrão mais realista e menor que o caso máximo. Portanto não faz sentido usar a variância conservadora para este teste.

Resposta

a) \hat p = 0{,}96.
b) Rejeita-se H_0 \text{p-valor}\approx0{,}0021<0{,}05; o supervisor deve não aprovar o sistema.
c) Não é válido aqui usar variância conservadora, pois já temos estimativa de p e o teste usa o valor sob H_0, gerando desvio-padrão mais preciso.

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