1. Dois homens A e B trabalhando juntos completam um trabalho que teriam levado, respectivamente, 30 e 40 dias para completar, se tivessem trabalhado separadamente. Se eles receberam um pagamento de \mathrm{R} \ 2100,00 , a parte de B é a) \(R \\) 900,00.
    b) R \ 1200,00 . c) \(R \\) 800,00.
    d) R \ 1300,00$.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações:
  • Trabalhando separadamente, o homem A leva 30 dias para completar o trabalho.
  • Trabalhando separadamente, o homem B leva 40 dias para completar o trabalho.
  • O pagamento total pelo serviço é de R\$\,2100{,}00.
O que se pede: determinar a parte do pagamento que corresponde a B.

Passo 2

Modelo e definição de variáveis (essa é a ideia-chave que sempre aparece em provas):
  • Definir a taxa de trabalho (ou produtividade) como a fração do trabalho que a pessoa faz por dia.
  • Seja r_A a taxa de A (em “trabalhos por dia”) e r_B a taxa de B.
Como cada um faz um trabalho inteiro em um certo número de dias, vale:
r_A=\frac{1}{30},\qquad r_B=\frac{1}{40}.
Explicação rápida: \frac{1}{30} significa que A faz um trigésimo do trabalho em um dia; assim, em 30 dias faz o trabalho todo.

Passo 3

Princípio para dividir o pagamento: quando dois trabalhadores trabalham juntos, a parte do pagamento de cada um deve ser proporcional à quantidade de trabalho que cada um realizou. Sendo as taxas constantes, a fração do trabalho feita por B ao trabalhar junto com A é
\text{fração}_B=\frac{r_B}{r_A+r_B}.çã
Portanto a parte em dinheiro de B é essa fração multiplicada pelo total R\$\,2100{,}00:
\text{parte}_B=\frac{r_B}{r_A+r_B}\times2100.

Passo 4

Calcular a taxa combinada r_A+r_B:
r_A+r_B=\frac{1}{30}+\frac{1}{40}=\frac{4+3}{120}=\frac{7}{120}.
Expliquei: coloquei as frações no mesmo denominador 120 (múltiplo comum de 30 e 40) e somei os numeradores.

Passo 5

Calcular a fração correspondente a B:
\frac{r_B}{r_A+r_B}=\frac{\tfrac{1}{40}}{\tfrac{7}{120}}=\frac{1}{40}\cdot\frac{120}{7}=\frac{3}{7}.
Passo a passo: ao dividir frações, multiplica-se pela inversa; 120/40=3, por isso o resultado 3/7.

Passo 6

Aplicar essa fração ao total pago:
\text{parte}_B=\frac{3}{7}\times2100.
Esse produto dá a quantia que B deve receber.

Passo 7

Verificação rápida de coerência: \frac{3}{7} é menor que metade (porque B é mais lento que A), e A receberia a outra fração \frac{4}{7}. As razões entre as partes seguem as taxas r_A:r_B = \tfrac{1}{30}:\tfrac{1}{40}=4:3, então faz sentido que A receba proporção maior.

Resposta

a) R\$\,900{,}00

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