Dois jogadores apostam quem vai tirar em primeiro lugar o ponto 6 num dado honesto. Cada um joga alternadamente. Qual a probabilidade de ganho do primeiro a jogar? E do segundo?

Passo 1

O enunciado diz que dois jogadores, A e B, vão jogando alternadamente um dado honesto até que alguém tire o ponto 6; quem tirar primeiro o 6 ganha. O conteúdo que vamos usar é o de séries geométricas para somar probabilidades de eventos em tentativas repetidas.

Passo 2

Seja p=tfrac16 a probabilidade de tirar 6 em um lançamento e q=1-p=tfrac56 a de não tirar 6. O jogador A vence se tirar 6 na sua 1.ª jogada (probabilidade p), ou se ambos A e B falharem nas duas primeiras jogadas e então A tirar 6 na 3.ª jogada (probabilidade qcdot qcdot p=q^2p), ou ainda se ambos falharem nas quatro primeiras jogadas e A tirar 6 na 5.ª jogada (probabilidade q^4p), e assim por diante. Logo
P(A)=sumk=0^infty(q^2)^k,p

Passo 3

Somando a série geométrica,
P(A) =p1-q^2 =tfrac161-l(tfrac56r)^2 =tfrac161-tfrac2536 =tfrac16tfrac1136 =611

Passo 4

Como necessariamente um dos dois ganha,
P(B)=1-P(A)=1-611=511

Resposta

P(primeiro jogador ganha)=tfrac611 P(segundo jogador ganha)=tfrac511

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