Um fabricante adquire certo tipo de componente de um fornecedor. Segundo este fornecedor, a proporção de componentes defeituosos é de 2 %. O fabricante adquire 10 lotes por mês e em cada lote são selecionados 15 componentes para inspeção.
Qual a probabilidade de que seja encontrados 3 lotes com exatamente um componente defeituoso?

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos que um fabricante compra componentes de um fornecedor que tem 2% de componentes defeituosos. Todo mês, o fabricante adquire 10 lotes e, em cada lote, inspeciona 15 componentes. A pergunta é: qual a probabilidade de exatamente 3 desses 10 lotes terem exatamente um componente defeituoso?
Aqui, vamos usar conceitos de probabilidade binomial. Vamos precisar entender como calcular a probabilidade de um evento ocorrer um certo número de vezes em tentativas independentes.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a probabilidade de um lote ter exatamente um componente defeituoso. Como cada componente tem 2% de chance de ser defeituoso e estamos inspecionando 15 componentes por lote, podemos modelar isso com a distribuição binomial.
A fórmula da probabilidade binomial é:
P(k; n, p) = binomnk p^k (1-p)^n-k
Onde:
  • n é o número de tentativas (no nosso caso, 15 componentes),
  • k é o número de sucessos desejados (1 componente defeituoso),
  • p é a probabilidade de sucesso em uma única tentativa (2%, ou 0,02).

Passo 3

Vamos calcular binom151 , que é o número de combinações de 15 componentes escolhendo 1 defeituoso:
binom151 = 15

Passo 4

Agora, vamos substituir na fórmula:
P(1; 15, 0,02) = 15 times (0,02)^1 times (0,98)^14
Vamos calcular isso passo a passo:
  • (0,02)^1 = 0,02
  • (0,98)^14 é aproximadamente 0,74
Então:
P(1; 15, 0,02) = 15 times 0,02 times 0,74 approx 0,222
Isso significa que a probabilidade de um lote ter exatamente um componente defeituoso é de aproximadamente 22,2%.

Passo 5

Agora, queremos que exatamente 3 dos 10 lotes tenham exatamente um componente defeituoso. Aqui, novamente, usamos a distribuição binomial, mas agora com:
  • n = 10 (número de lotes),
  • k = 3 (lotes com exatamente um defeito),
  • p = 0,222 (probabilidade de um lote ter exatamente um defeito, que calculamos anteriormente).
Aplicando a fórmula binomial:
P(3; 10, 0,222) = binom103 times (0,222)^3 times (1-0,222)^7

Passo 6

Vamos calcular binom103 :
binom103 = 120
Agora, substituindo na fórmula:
P(3; 10, 0,222) = 120 times (0,222)^3 times (0,778)^7
Calculando cada parte:
  • (0,222)^3 approx 0,0109
  • (0,778)^7 approx 0,193
Então:
P(3; 10, 0,222) = 120 times 0,0109 times 0,193 approx 0,253

Resposta

A probabilidade de que exatamente 3 dos 10 lotes inspecionados tenham exatamente um componente defeituoso é de aproximadamente 25,3%.

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