Um fabricante adquire certo tipo de componente de um fornecedor. Segundo este fornecedor, a proporção de componentes defeituosos é de
. O fabricante adquire 10 lotes por mês e em cada lote são selecionados 15 componentes para inspeção.
Qual a probabilidade de que seja encontrados 3 lotes com exatamente um componente defeituoso?
Qual a probabilidade de que seja encontrados 3 lotes com exatamente um componente defeituoso?
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos que um fabricante compra componentes de um fornecedor que tem 2% de componentes defeituosos. Todo mês, o fabricante adquire 10 lotes e, em cada lote, inspeciona 15 componentes. A pergunta é: qual a probabilidade de exatamente 3 desses 10 lotes terem exatamente um componente defeituoso?
Aqui, vamos usar conceitos de probabilidade binomial. Vamos precisar entender como calcular a probabilidade de um evento ocorrer um certo número de vezes em tentativas independentes.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a probabilidade de um lote ter exatamente um componente defeituoso. Como cada componente tem 2% de chance de ser defeituoso e estamos inspecionando 15 componentes por lote, podemos modelar isso com a distribuição binomial.
A fórmula da probabilidade binomial é:
Onde:
-
é o número de tentativas (no nosso caso, 15 componentes), -
é o número de sucessos desejados (1 componente defeituoso), -
é a probabilidade de sucesso em uma única tentativa (2%, ou 0,02).
Passo 3
Vamos calcular
, que é o número de combinações de 15 componentes escolhendo 1 defeituoso:
Passo 4
Agora, vamos substituir na fórmula:
Vamos calcular isso passo a passo:
-
-
é aproximadamente 0,74
Então:
Isso significa que a probabilidade de um lote ter exatamente um componente defeituoso é de aproximadamente 22,2%.
Passo 5
Agora, queremos que exatamente 3 dos 10 lotes tenham exatamente um componente defeituoso. Aqui, novamente, usamos a distribuição binomial, mas agora com:
-
(número de lotes), -
(lotes com exatamente um defeito), -
(probabilidade de um lote ter exatamente um defeito, que calculamos anteriormente).
Aplicando a fórmula binomial:
Passo 6
Vamos calcular
:
Agora, substituindo na fórmula:
Calculando cada parte:
Então:
Resposta
A probabilidade de que exatamente 3 dos 10 lotes inspecionados tenham exatamente um componente defeituoso é de aproximadamente 25,3%.