Dois jogadores fazem uma aposta. O jogador paga 100 reais para o jogador e lança duas moedas viciadas não simultaneamente. A probabilidade de sair cara na primeira moeda é 0,3 e na segunda é de 0,2. Se sair cara na moeda, o jogador tem o direito de lançar a moeda: neste caso, se sair cara, ganha 200 reais e se sair coroa 100 reais. Se sair coroa na moeda, perde. Seja a v.a. que representa o lucro de . Determine a distribuição de probabilidade de bem como sua função de distribuição acumulada juntamente com seu gráfico. Calcule também o lucro esperado do jogador e também sua variância.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos dois jogadores, A e B, fazendo uma aposta. O jogador A paga 100 reais para o jogador B e decide lançar duas moedas viciadas, ou seja, com probabilidades diferentes de dar cara. A probabilidade de sair cara na primeira moeda é 0,3 e na segunda é 0,2.
Aqui, estamos lidando com Probabilidade e Variáveis Aleatórias. Precisamos descobrir todas as possibilidades de lucro para o jogador A, calcular as probabilidades de cada resultado, a função de distribuição acumulada (CDF) de Y, e também o lucro esperado e a variância desse lucro.
Vamos resolver isso passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos identificar todos os possíveis resultados do jogo e os lucros associados a cada um. Isso ajuda a entender quais valores a variável aleatória Y pode assumir.
Primeira Moeda: Cara (probabilidade 0,3)
Se der cara, o jogador A decide lançar a segunda moeda.
Segunda Moeda: Cara (probabilidade 0,2) → A ganha 200 reais.
Segunda Moeda: Coroa (probabilidade 0,8) → A ganha 100 reais.
Primeira Moeda: Coroa (probabilidade 0,7) → A perde 100 reais.
Então, os possíveis valores de Y são: 200, 100 e -100 reais.
Passo 3
Agora, vamos calcular as probabilidades de cada valor de Y.
Y = 200 reais:
A primeira moeda dá cara (0,3) e a segunda também dá cara (0,2).
Probabilidade: $ 0,3 \times 0,2 = 0,06 $.
Y = 100 reais:
A primeira moeda dá cara (0,3) e a segunda dá coroa (0,8).
Probabilidade: $ 0,3 \times 0,8 = 0,24 $.
Y = -100 reais:
A primeira moeda dá coroa (0,7).
Probabilidade: $ 0,7 $.
Vamos verificar se as probabilidades somam 1:
$ 0,06 + 0,24 + 0,7 = 1 $. Tudo certo!
Passo 4
Com as probabilidades calculadas, podemos montar a distribuição de probabilidade de Y:
Passo 5
Agora, vamos construir a função de distribuição acumulada (CDF) de Y. A CDF nos mostra a probabilidade de Y ser menor ou igual a um certo valor.
Vamos organizar os valores de Y em ordem crescente: -100, 100, 200.
Então, a CDF fica assim:
Passo 6
Para visualizar, imagine um gráfico de degrau onde a função FY(y) aumenta nos pontos y = -100, y = 100 e y = 200, atingindo 1 no final. Infelizmente, não posso desenhar aqui, mas agora você sabe como a CDF se comporta!
Passo 7
Vamos calcular o lucro esperado do jogador A, ou seja, o valor médio que ele espera ganhar.
A fórmula do valor esperado $ E(Y) $ é:
E(Y)
Substituindo:
E(Y) = sum y times P(Y = y)
Então, o lucro esperado de A é -34 reais. Isso significa que, em média, A espera perder 34 reais por jogo.
Passo 8
Agora, vamos calcular a variância do lucro de A, que nos mostra a dispersão dos lucros em relação à média.
Primeiro, calculamos $ E(Y^2) $:
E(Y^2)
Substituindo:
E(Y^2) = sum y^2 times P(Y = y)
Agora, a variância $ Var(Y) $ é:
E(Y^2) = (200^2 times 0,06) + (100^2 times 0,24) + ((-100)^2 times 0,7) = 40000 times 0,06 + 10000 times 0,24 + 10000 times 0,7 = 2400 + 2400 + 7000 = 11800