Seja X uma variável aleatória contínua cuja f d p é dada por:
f(x)=rll x / 3 & se & 0 <= x <= 2 (k-x)^2 / 8 & se & 2
Nessas condições, pede-se:
(d) F(5 / 2)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre uma variável aleatória contínua $ X $ com uma função densidade de probabilidade (FDP) definida por partes. A gente precisa encontrar a função distribuição acumulada $ F $ no ponto $ \frac{5}{2} $ (ou seja, $ F\left(\frac{5}{2}\right) $). Para isso, vamos precisar entender como é a FDP, garantir que ela é válida (ou seja, que a integral total dela é 1) e depois calcular a integral até $ \frac{5}{2} $.

Passo 2

Primeiro, vamos substituir $ \frac{5}{2} $ por um número mais fácil de trabalhar: $ \frac{5}{2} = 2,5 $. Agora, temos que considerar a FDP:
52 á
Nosso primeiro passo é encontrar o valor de $ k $ para garantir que a área total sob a curva da FDP seja igual a 1.

Passo 3

Vamos integrar a FDP em todo o seu domínio e igualar a 1:
integral0^2 x3 , dx + integral2^4 (k - x)^28 , dx = 1
Vamos calcular cada integral separadamente.

Passo 4

Calculando a primeira integral:
integral0^2 x3 , dx = 13 integral0^2 x , dx = 13 [ x^22 ]0^2 = 13 ( 42 - 0 ) = 13 times 2 = 23

Passo 5

Agora, calculando a segunda integral:
integral2^4 (k - x)^28 , dx
Vamos expandir $ (k - x)^2 $:
(k - x)^2
Assim, a integral fica:
(k - x)^2 = k^2 - 2kx + x^2
Calculando isso:
18 integral2^4 (k^2 - 2kx + x^2) , dx = 18 [ k^2x - kx^2 + x^33 ]2^4
Simplificando:
18 [ (k^2 times 4 - k times 16 + 643) - (k^2 times 2 - k times 4 + 83) ]

Passo 6

Agora, voltando à equação original:
23 + 18 ( 2k^2 - 12k + 563 ) = 1
Multiplicando tudo por 24 para eliminar os denominadores:
16 + 3(2k^2 - 12k + 563) = 24
Simplificando:
16 + 6k^2 - 36k + 56 = 24
Somando os termos constantes:
6k^2 - 36k + 72 = 24
Subtraindo 24 de ambos os lados:
6k^2 - 36k + 48 = 0
Dividindo tudo por 6:
k^2 - 6k + 8 = 0
Fatorando a equação quadrática:
(k - 2)(k - 4) = 0
Então, $ k = 2 $ ou $ k = 4 $. Contudo, devemos verificar qual valor de $ k $ faz sentido no contexto da FDP. Se $ k = 2 $, a segunda parte da FDP seria zero em $ x = 2 $, o que não é desejável. Portanto, $ k = 4 $.

Passo 7

Agora que temos $ k = 4 $, podemos calcular a função distribuição acumulada $ F(2.5) $.
A função distribuição acumulada até $ x = 2.5 $ é a integral da FDP de 0 até 2.5:
k = 4
Já calculamos a primeira integral e vimos que ela é $ \frac{2}{3} $.
Vamos calcular a segunda integral:
F(2.5)
Calculando isso:
Primeiro para $ x = 2.5 $:
x = 2.5
Depois para $ x = 2 $:
F(2.5) = integral0^2 x3 , dx + integral2^2.5 (4 - x)^28 , dx
A diferença é:
23
Então:
integral2^2.5 (4 - x)^28 , dx = 18 integral2^2.5 (16 - 8x + x^2) , dx = 18 [ 16x - 4x^2 + x^33 ]2^2.5

Resposta

F(52) approx 23 + 0.1927 approx 0.8587
Ou seja, $ F\left(\frac{5}{2}\right) \approx 0,8587 $.

Exercícios relacionados