Seja uma variável aleatória contínua cuja é dada por:
Nessas condições, pede-se:
(a) O valor da constante k.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente encontrar o valor da constante $ k $ na função de densidade de probabilidade $ f(x) $ de uma variável aleatória contínua $ X $. Isso está dentro do conteúdo de Probabilidade e Estatística, mais especificamente sobre funções de densidade de probabilidade (PDF). Pra resolver isso, precisamos garantir que a integral de $ f(x) $ em todo o seu domínio seja igual a 1, já que a soma das probabilidades de todos os resultados possíveis deve ser 1.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a função $ f(x) $. Ela está dividida em duas partes:
De $ 0 $ a $ 2 $, $ f(x) = \frac{x}{3} $.
De $ 2 $ a $ 4 $, $ f(x) = \frac{(k - x)^2}{8} $.
Fora desses intervalos, $ f(x) = 0 $. Nossa missão é encontrar $ k $ de forma que a área total sob a curva de $ f(x) $ seja 1.
Passo 3
Vamos calcular a integral de $ f(x) $ de $ 0 $ a $ 2 $ e de $ 2 $ a $ 4 $, e somar essas duas áreas para igualar a 1.