Seja X uma variável aleatória contínua cuja f d p é dada por:
f(x)=rll x / 3 & se & 0 <= x <= 2 (k-x)^2 / 8 & se & 2
Nessas condições, pede-se:
(a) O valor da constante k.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente encontrar o valor da constante $ k $ na função de densidade de probabilidade $ f(x) $ de uma variável aleatória contínua $ X $. Isso está dentro do conteúdo de Probabilidade e Estatística, mais especificamente sobre funções de densidade de probabilidade (PDF). Pra resolver isso, precisamos garantir que a integral de $ f(x) $ em todo o seu domínio seja igual a 1, já que a soma das probabilidades de todos os resultados possíveis deve ser 1.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a função $ f(x) $. Ela está dividida em duas partes:
  1. De $ 0 $ a $ 2 $, $ f(x) = \frac{x}{3} $.
  2. De $ 2 $ a $ 4 $, $ f(x) = \frac{(k - x)^2}{8} $.
Fora desses intervalos, $ f(x) = 0 $. Nossa missão é encontrar $ k $ de forma que a área total sob a curva de $ f(x) $ seja 1.

Passo 3

Vamos calcular a integral de $ f(x) $ de $ 0 $ a $ 2 $ e de $ 2 $ a $ 4 $, e somar essas duas áreas para igualar a 1.
Primeira integral:
f(x)
Segunda integral:
0
Somando elas:
2

Passo 4

Vamos resolver cada integral separadamente.
Primeira integral:
integral0^2 x3 , dx = 13 cdot integral0^2 x , dx = 13 cdot [ x^22 ]0^2 = 13 cdot ( 42 - 0 ) = 13 cdot 2 = 23
Segunda integral:
integral2^4 (k - x)^28 , dx = 18 cdot integral2^4 (k - x)^2 , dx
Vamos expandir (k - x)^2:
(k - x)^2 = k^2 - 2k x + x^2
Então:
18 cdot [ k^2 x - k x^2 + x^33 ]2^4
Calculando:
18 cdot ( [k^2 cdot 4 - k cdot 16 + 643] - [k^2 cdot 2 - k cdot 4 + 83] )
Simplificando:
18 cdot ( 4k^2 - 16k + 643 - 2k^2 + 4k - 83 ) = 18 cdot ( 2k^2 - 12k + 563 )

Passo 5

Agora, somamos as duas integrais e igualamos a 1:
23 + 18 cdot ( 2k^2 - 12k + 563 ) = 1
Multiplicando tudo por 24 para eliminar os denominadores:
16 + 3 cdot ( 2k^2 - 12k + 563 ) = 24
Distribuindo o 3:
16 + 6k^2 - 36k + 56 = 24
Somando os termos constantes:
6k^2 - 36k + 72 = 24
Subtraindo 24 de ambos os lados:
6k^2 - 36k + 48 = 0
Dividindo tudo por 6:
k^2 - 6k + 8 = 0
Fatorando a equação quadrática:
(k - 2)(k - 4) = 0
Então, $ k = 2 $ ou $ k = 4 $.

Resposta

Os possíveis valores para $ k $ são 2 e 4.

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