Seja X uma variável aleatória contínua cuja f d p é dada por:
f(x)=rll (x-2) / 16 & se & 2 <= x <= 6 (k-x) / 16 & se & 6
Nessas condições, pede-se:
© E(X) e Var(X).

Passo 1

Vamos dar uma resumida no que estamos enfrentando aqui. Temos uma variável aleatória contínua $ X $ com uma função densidade de probabilidade (f.d.p.) definida por partes:
X á
Nos pedem para calcular o valor esperado $ E(X) $ e a variância $ \operatorname{Var}(X) $. Para isso, vamos usar as fórmulas de expectativa e variância para variáveis contínuas.

Passo 2

Antes de mais nada, precisamos garantir que $ f(x) $ seja uma função densidade válida. Isso significa que a integral de $ f(x) $ em todo o seu domínio deve ser igual a 1:
f(x)
Como $ f(x) $ é diferente de zero apenas entre 2 e 10, podemos simplificar para:
f(x)

Passo 3

Vamos calcular cada uma dessas integrais separadamente.
Primeira integral (de 2 a 6):
integral2^6 x - 216 , dx = 116 integral2^6 (x - 2) , dx = 116 [ x^22 - 2x ]2^6
Calculando nos limites:
116 [ ( 6^22 - 2 times 6 ) - ( 2^22 - 2 times 2 ) ] = 116 [ (18 - 12) - (2 - 4) ] = 116 (6 + 2) = 816 = 12
Segunda integral (de 6 a 10):
integral6^10 10 - x16 , dx = 116 integral6^10 (10 - x) , dx = 116 [ 10x - x^22 ]6^10
Calculando nos limites:
116 [ ( 10 times 10 - 10^22 ) - ( 10 times 6 - 6^22 ) ] = 116 [ (100 - 50) - (60 - 18) ] = 116 (50 - 42) = 816 = 12

Passo 4

Agora, somamos as duas integrais para verificar a condição de que a integral total é igual a 1:
12 + 12 = 1
Isso confirma que $ f(x) $ é uma função densidade válida. Além disso, já identificamos que $ k = 10 $ na definição de $ f(x) $.

Passo 5

Vamos calcular o valor esperado $ E(X) $. A fórmula para o valor esperado de uma variável contínua é:
E(X)
Como $ f(x) $ é diferente de zero apenas entre 2 e 10, simplificamos para:
E(X) = integral-infty^+infty x cdot f(x) , dx
Primeira integral (de 2 a 6):
f(x)
Calculando nos limites:
E(X) = integral2^6 x cdot x - 216 , dx + integral6^10 x cdot 10 - x16 , dx
Segunda integral (de 6 a 10):
integral2^6 x cdot x - 216 , dx = 116 integral2^6 (x^2 - 2x) , dx = 116 [ x^33 - x^2 ]2^6
Calculando nos limites:
116 [ ( 6^33 - 6^2 ) - ( 2^33 - 2^2 ) ] = 116 [ ( 72 - 36 ) - ( 83 - 4 ) ] = 116 ( 36 - ( -43 ) ) = 116 cdot 1123 = 73
Somando as duas partes:
integral6^10 x cdot 10 - x16 , dx = 116 integral6^10 (10x - x^2) , dx = 116 [ 5x^2 - x^33 ]6^10

Passo 6

Agora, vamos calcular $ E(X^2) $, que é necessário para determinar a variância. A fórmula é:
E(X^2)
Simplificando para o nosso caso:
E(X^2) = integral-infty^+infty x^2 cdot f(x) , dx
Primeira integral (de 2 a 6):
E(X^2) = integral2^6 x^2 cdot x - 216 , dx + integral6^10 x^2 cdot 10 - x16 , dx
Calculando nos limites:
integral2^6 x^2 cdot x - 216 , dx = 116 integral2^6 (x^3 - 2x^2) , dx = 116 [ x^44 - 2x^33 ]2^6
Segunda integral (de 6 a 10):
116 [ ( 12964 - 4323 ) - ( 164 - 163 ) ] = 116 [ (324 - 144) - (4 - 163) ] = 116 ( 180 - ( -43 ) ) = 116 cdot 5443 = 343
Calculando nos limites:
integral6^10 x^2 cdot 10 - x16 , dx = 116 integral6^10 (10x^2 - x^3) , dx = 116 [ 10x^33 - x^44 ]6^10
Somando as duas partes:
116 [ ( 10 times 10003 - 100004 ) - ( 10 times 2163 - 12964 ) ] = 116 [ ( 100003 - 2500 ) - ( 720 - 324 ) ] = 116 ( 100003 - 2500 - 396 ) = 116 cdot 13123 = 823

Passo 7

Finalmente, vamos calcular a variância $ \operatorname{Var}(X) $ usando a fórmula:
Var(X)
Substituindo os valores que encontramos:
Var(X) = E(X^2) - [E(X)]^2

Resposta

O valor esperado é $ E(X) = 6 $ e a variância é $ \operatorname{Var}(X) = \dfrac{8}{3} $.

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