Seja X uma variável aleatória contínua cuja f d p é dada por:
f(x)=rll (x-2) / 16 & se & 2 <= x <= 6 (k-x) / 16 & se & 6
Nessas condições, pede-se:
(a) O valor da constante k.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma função densidade de probabilidade (f(x)) para uma variável aleatória contínua X. O que a gente precisa descobrir aqui é o valor da constante k. Para isso, vamos lembrar que a soma de todas as probabilidades numa função densidade deve ser igual a 1.

Passo 2

Primeiro, vamos entender como a função f(x) está definida:
f(x)= x-216 & se 2 <= x <= 6 k - x16 & se 6 < x <= 10 0 & caso contrário á
Como a função é diferente em dois intervalos, vamos calcular a integral em cada um deles e depois somar, igualando a 1.

Passo 3

Vamos calcular a integral de f(x) de 2 a 6:
integral2^6 x - 216 , dx
Primeiro, resolvemos a integral:
116 integral2^6 (x - 2) , dx = 116 [ (x)^22 - 2x ]2^6
Calculando nos limites:
116 [ (362 - 12) - (42 - 4) ] = 116 [ (18 - 12) - (2 - 4) ] = 116 (6 + 2) = 816 = 0,5

Passo 4

Agora, calculamos a integral de f(x) de 6 a 10:
integral6^10 k - x16 , dx
Resolvendo a integral:
116 integral6^10 (k - x) , dx = 116 [ kx - x^22 ]6^10
Colocando os limites:
116 [ (10k - 50) - (6k - 18) ] = 116 (10k - 50 - 6k + 18) = 116 (4k - 32) = 4k - 3216 = k - 84
Agora, somamos as duas integrais e igualamos a 1:
0,5 + k - 84 = 1
Multiplicando tudo por 4 para eliminar o denominador:
2 + k - 8 = 4
Simplificando:
k - 6 = 4 Rightarrow k = 10

Resposta

O valor da constante $ k $ é 10.

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