Dois jogadores A e B jogam 120 partidas de xadrez das quais A vence 60 B vence 40 e haja 20 empates. Determine a probabilidade de que em mais três partidas a serem jogadas:
Duas termine empatadas;
Duas termine empatadas;
Passo 1
Beleza, vamos resumir o que a questão tá pedindo. A gente tem dois jogadores, A e B, que já jogaram 120 partidas de xadrez. Dessas, o A venceu 60, o B venceu 40 e empatou 20 vezes. Agora, queremos saber qual é a probabilidade de, nas próximas três partidas, exatamente duas terminarem em empate. Para resolver isso, vamos usar a teoria das probabilidades, mais especificamente a distribuição binomial, que é ótima para calcular a chance de eventos que têm dois possíveis resultados (no nosso caso, empate ou não empate).
Passo 2
Primeiro, vamos identificar a probabilidade de um empate em uma única partida. Dos 120 jogos, 20 foram empates. Então, a probabilidade de empatar em uma partida é:
E a probabilidade de não empatar (ou seja, um dos jogadores vencer) é:
Passo 3
Agora, queremos que, em três partidas, exatamente duas sejam empates. Isso significa que uma partida não será empate. Como a ordem pode variar (por exemplo, empate, empate, não empate ou empate, não empate, empate, etc.), precisamos considerar todas as combinações possíveis.
A fórmula da distribuição binomial é:
Onde:
- $ n = 3 $ (número de partidas)
- $ k = 2 $ (número de empates que queremos)
- $ p = \frac{1}{6} $ (probabilidade de empate em uma partida)
- $ C(n, k) $ é a combinação de n elementos tomados k a k, que calcula o número de maneiras de escolher quais partidas serão empates.
Passo 4
Vamos calcular cada parte da fórmula.
Primeiro, a combinação $ C(3, 2) $:
Isso significa que há 3 maneiras diferentes de ter exatamente dois empates em três partidas.
Passo 5
Agora, vamos calcular $ p^k $ e $ (1 - p)^{n - k} $:
Passo 6
Finalmente, aplicamos todos os valores na fórmula:
Resposta
A probabilidade de que exatamente duas das próximas três partidas terminem empatadas é aproximadamente $ 0,0694 $ ou 6,94%.