Dois jogadores A e B jogam 120 partidas de xadrez das quais A vence 60 B vence 40 e haja 20 empates. Determine a probabilidade de que em mais três partidas a serem jogadas:
Duas termine empatadas; approx 0,0694

Passo 1

Beleza, vamos resumir o que a questão tá pedindo. A gente tem dois jogadores, A e B, que já jogaram 120 partidas de xadrez. Dessas, o A venceu 60, o B venceu 40 e empatou 20 vezes. Agora, queremos saber qual é a probabilidade de, nas próximas três partidas, exatamente duas terminarem em empate. Para resolver isso, vamos usar a teoria das probabilidades, mais especificamente a distribuição binomial, que é ótima para calcular a chance de eventos que têm dois possíveis resultados (no nosso caso, empate ou não empate).

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a probabilidade de um empate em uma única partida. Dos 120 jogos, 20 foram empates. Então, a probabilidade de empatar em uma partida é:
P(Empate) = 20120 = 16 approx 0,1667
E a probabilidade de não empatar (ou seja, um dos jogadores vencer) é:
P(Não Empate) = 1 - P(Empate) = 1 - 16 = 56 approx 0,8333 ã

Passo 3

Agora, queremos que, em três partidas, exatamente duas sejam empates. Isso significa que uma partida não será empate. Como a ordem pode variar (por exemplo, empate, empate, não empate ou empate, não empate, empate, etc.), precisamos considerar todas as combinações possíveis.
A fórmula da distribuição binomial é:
P(k; n, p) = C(n, k) times p^k times (1 - p)^n - k
Onde:
  • $ n = 3 $ (número de partidas)
  • $ k = 2 $ (número de empates que queremos)
  • $ p = \frac{1}{6} $ (probabilidade de empate em uma partida)
  • $ C(n, k) $ é a combinação de n elementos tomados k a k, que calcula o número de maneiras de escolher quais partidas serão empates.

Passo 4

Vamos calcular cada parte da fórmula.
Primeiro, a combinação $ C(3, 2) $:
C(3, 2)
Isso significa que há 3 maneiras diferentes de ter exatamente dois empates em três partidas.

Passo 5

Agora, vamos calcular $ p^k $ e $ (1 - p)^{n - k} $:
p^k
(1 - p)^n - k

Passo 6

Finalmente, aplicamos todos os valores na fórmula:
P(2; 3, 16) = 3 times 136 times 56 = 3 times 5216 = 15216 approx 0,0694

Resposta

A probabilidade de que exatamente duas das próximas três partidas terminem empatadas é aproximadamente $ 0,0694 $ ou 6,94%.

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