Pedro e José são pastores de ovelhas. Pedro tem 3 vezes mais ovelhas do que José. No rebanho de Pedro 20% das ovelhas são malhadas e no rebanho de José 10% das ovelhas são malhadas. Encontrou-se uma ovelha desgarrada. Sem saber nada sobre essa ovelha, qual é a probabilidade de que ela pertença a José? Sabendo-se que a ovelha desgarrada e malhada, qual é a probabilidade de que ela pertença a José?0,142857

Passo 1

Vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos dois pastores, Pedro e José, que cuidam de ovelhas. Sabemos que Pedro tem 3 vezes mais ovelhas que José. Além disso, 20% das ovelhas de Pedro são malhadas (ou seja, têm manchas) e 10% das ovelhas de José são malhadas. Encontramos uma ovelha perdida e precisamos descobrir duas coisas:
  1. Probabilidade de que essa ovelha pertença a José, sem saber nada sobre ela.
  2. Probabilidade de que essa ovelha pertença a José sabendo que ela é malhada.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de probabilidade, especificamente a probabilidade condicional.

Passo 2

Primeiro, vamos definir quantas ovelhas cada pastor tem. Como Pedro tem 3 vezes mais ovelhas que José, podemos supor que:
  • José tem x ovelhas.
  • Pedro tem 3x ovelhas.
Portanto, o total de ovelhas é:
x + 3x = 4x

Passo 3

Agora, vamos calcular a probabilidade de que uma ovelha perdida pertença a José sem nenhuma informação adicional.
A probabilidade de uma ovelha ser de José é a fração das ovelhas de José em relação ao total:
P(José) = Ovelhas de JoséTotal de ovelhas = x4x = 14 = 0,25 éé
Então, há 25% de chance de que a ovelha perdida seja de José.

Passo 4

Agora, vamos considerar que a ovelha perdida é malhada. Queremos saber a probabilidade de que ela pertença a José dado que ela é malhada, isto é, $ P(José | Malhada) $.
Para isso, vamos usar o Teorema de Bayes:
P(José | Malhada) ééé
Vamos calcular cada parte:
  1. $ P(Malhada | José) $: Probabilidade de uma ovelha ser malhada dado que pertence a José, que é 10% ou 0,10.
  2. $ P(José) $: Já calculamos como 0,25.
  3. $ P(Malhada) $: Probabilidade de uma ovelha qualquer ser malhada. Isso pode ser calculado somando as probabilidades de ser malhada de cada pastor multiplicadas pela probabilidade de a ovelha ser de cada um.
P(José | Malhada) = P(Malhada | José) times P(José)P(Malhada) éé
P(Malhada | José)
P(José)

Passo 5

Agora, substituímos esses valores no Teorema de Bayes:
P(José | Malhada) = 0,10 times 0,250,175 é
P(José | Malhada) = 0,0250,175 é
P(José | Malhada) approx 0,142857 é

Resposta

  1. Sem saber nada sobre a ovelha, a probabilidade de que ela pertença a José é 0,25 ou 25%.
  2. Sabendo que a ovelha é malhada, a probabilidade de que ela pertença a José é aproximadamente 0,142857 ou 14,29%.

Exercícios relacionados