Dois lados consecutivos de um paralelogramo medem 14 cm e 10 cm e formam um ângulo de 60^circ. Calcule as medidas de suas diagonais.

Passo 1

O enunciado apresenta um paralelogramo com lados consecutivos de comprimento a=14 cm e b=10 cm e ângulo interno theta=60^circ. Para encontrar as diagonais, vamos usar o teorema de cossenos nos dois triângulos formados pelas diagonais.

Passo 2

Em um paralelogramo, cada diagonal é o lado oposto em um triângulo cujos dois outros lados medem a e b, com ângulo entre eles igual a theta ou a seu suplementar 180^circ-theta. Assim, pelo teorema de cossenos:
d1^2 = a^2 + b^2 - 2abcos(theta)
d2^2 = a^2 + b^2 - 2abcos(180^circ-theta) = a^2 + b^2 + 2abcos(theta)

Passo 3

Substituindo a=14, b=10 e cos(60^circ)=tfrac12:
d1^2 = 14^2 + 10^2 - 2cdot14cdot10cdottfrac12 = 196 + 100 - 140 = 156,
d2^2 = 196 + 100 + 140 = 436

Passo 4

Extraindo raízes e apresentando valores exatos e aproximados:
d1 = raiz156 = 2raiz39approx12,49 cm,
d2 = raiz436 = 2raiz109approx20,88 cm

Resposta

As diagonais medem 2raiz39approx12,49 cm e 2raiz109approx20,88 cm.

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