Dois medidores de pressão estão instalados ao longo de uma tubulação horizontal. O medidor 1 está instalado em um ponto onde a pressão medida é p1 e a seção reta do tubo é A1. O medidor 2 está instalado em um ponto onde a pressão medida é p2 e a seção reta do cano é A2. Encontre a velocidade de escoamento v1 do fluido que passa por A1 em termos das variáveis p1, p2, A1 e A2. Considere que a densidade do fluido é igual a rho.

Passo 1

Beleza, aqui a ideia é bem tranquila. A gente tem um cano horizontal onde, em dois pontos diferentes, medem as pressões e . O diâmetro muda: a área da seção no ponto 1 é e no ponto 2 é . O fluido é incompressível (densidade constante) e queremos achar a velocidade no ponto 1 só em função de e .
Conteúdo: mecânica dos fluidos – equação da continuidade + equação de Bernoulli. Vamos usar as duas.

Passo 2

Primeiro, a equação da continuidade. Ela diz que, pra um fluido incompressível em escoamento estacionário, a vazão volumétrica é a mesma em todo lugar:
Q = A1,v1 = A2,v2
Isso significa que
v2 = A1A2;v1
Aqui só mostramos como relacionar com .

Passo 3

Agora a gente entra com a equação de Bernoulli. Em forma simplificada para um cano horizontal (mesma altura, então não aparece termo de gravidade), é:
p1 + tfrac12,rho,v1^2 ;=; p2 + tfrac12,rho,v2^2
Isso é a conservação de energia por unidade de volume do fluido: pressão + energia cinética constante.

Passo 4

Substituímos p1 + tfrac12,rho,v1^2 ;=; p2 + tfrac12,rhol(A1A2v1r)^2 (do Passo 2) na Bernoulli:
p1 - p2 = tfrac12,rhol[l(tfracA1A2v1r)^2 - v1^2r]
Passo a passo de álgebra:
  1. Tiramos p1 - p2 = tfrac12,rho,v1^2 l[l(tfracA1A2r)^2 - 1r] pro lado esquerdo e o termo cinético de v1^2 = 2,(p1 - p2)rho, l[(A1/A2)^2 - 1r] pro lado direito:
v1 = raiz2,(p1 - p2)rho, l[(A1/A2)^2 - 1r]
  1. Fatoramos :
  1. Isolamos :
  1. E a velocidade fica

Resposta

boxedv1 = raiz2,(p1 - p2)rhol[(A1/A2)^2 - 1r]

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