Três massas m1, m2 e m3 estão fixas nos vértices de um triângulo isósceles cujos comprimentos da base e altura medem a e 2a, respectivamente. Considerando m1=m2=m, m3=4m, e que as duas massas menores situam-se na base desse triângulo, determine o momento de inércia desse sistema com relação à mediatriz da base.

Passo 1

Então, o que o enunciado diz? A gente tem um triângulo isósceles com base de comprimento I ;=;sumi mi,di^2 e altura . Nos dois vértices da base estão as massas e no vértice do topo está . O que querem é o momento de inércia desse conjunto de três massas em relação à mediatriz da base (ou seja, a reta que passa pelo ponto médio da base e é perpendicular a ela).
Matéria envolvida: momento de inércia de sistema de partículas. Fórmula principal:
onde é a distância da massa ao eixo (aqui, à mediatriz).

Passo 2

Vamos colocar coordenadas pra visualizar fácil:
  • Vértice esquerdo da base em com massa .
  • Vértice direito da base em com massa .
  • Topo do triângulo em com massa .
    A mediatriz da base é a reta , que é perpendicular à base e passa pelo ponto .

Passo 3

Agora calculamos a distância de cada massa até essa reta d1 = l|0 - tfraca2r| = tfraca2 .
  • Massa d2 = l|a - tfraca2r| = tfraca2 em d3 = l|tfraca2 - tfraca2r| = 0 :
  • Massa em :
  • Massa em :

Passo 4

Aplicando a fórmula do momento de inércia para partículas:
I = m1 d1^2 + m2 d2^2 + m3 d3^2
Substituindo:
I = ml(tfraca2r)^2 ;+; ml(tfraca2r)^2 ;+; 4mcdot0^2 = 2m;a^24 = 2m,a^24 = m,a^22

Resposta

boxedI = m,a^22

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