Três massas m1, m2 e m3 estão fixas nos vértices de um triângulo isósceles cujos comprimentos da base e altura medem a e 2a, respectivamente. Considerando m1=m2=m, m3=4m, e que as duas massas menores situam-se na base desse triângulo, determine as coordenadas do centro de massa do sistema com relação à origem dos eixos cartesianos, escolhida de modo a coincidir com o ponto médio da base.

Passo 1

Beleza, resumo o que o enunciado pediu: temos três massas presas nos vértices de um triângulo isósceles. A base tem comprimento a e a altura 2a. Nas pontas da base estão m1=m2=m e no vértice de cima está m3=4m. O eixo x fica sobre a base, com origem no ponto médio dela, e o eixo y aponta pra cima.
Conteúdo: centro de massa de um sistema de partículas (média ponderada de posições). Vamos precisar das coordenadas de cada massa e da fórmula do centro de massa:
xrm CM=sum mi xisum mi, yrm CM=sum mi yisum mi

Passo 2

Primeiro, vamos achar as coordenadas de cada massa:
m1=m está em (-tfrac a2,0)
m2=m está em (+tfrac a2,0)
m3=4m está no topo, logo em (0,2a)
Isso vem de colocar o ponto médio da base na origem e lembrar que a base tem comprimento a, então vai de -a/2 a +a/2, e a altura é 2a no eixo y.

Passo 3

Agora aplicamos a fórmula para a coordenada x do centro de massa:
xrm CM =m,( -tfrac a2 ) + m,( +tfrac a2 ) + 4m,(0)m+m+4m =-tfracma2 + tfracma2 +06m =0
Teoria aqui: como as duas massas iguais estão simetricamente em x, o centro de massa cai no eixo y (x=0).

Passo 4

Para a coordenada y do centro de massa, fazemos:
yrm CM =m,(0) + m,(0) + 4m,(2a)6m =8ma6m =4a3
Explicando: as duas massas menores não contribuem em y (estão em y=0), então só sobra o peso de 4m a y=2a.

Resposta

As coordenadas do centro de massa são
(xrm CM,,yrm CM) = l(0,;tfrac4a3r)

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