Três pessoas jogam juntas. Na primeira rodada a primeira perde para cada um dos outros dois a mesma quantia que cada um deles tinha no início do jogo. Na segunda rodada, a segunda pessoa perde para cada um dos outros a mesma quantia que eles tinham no final da 1a rodada. Na terceira rodada, o 1^circ e o 2^circ jogadores ganham do 3^circ a mesma quantia que cada um tinha no final da segunda rodada. Neste momento, os jogadores verificaram que cada um deles possui R 24,00$. Quanto cada jogador tinha ao começar o jogo?

Passo 1

Vamos chamar de x, y e z as quantias iniciais, respectivamente, do primeiro, segundo e terceiro jogadores. O jogo tem três rodadas com transferências entre eles, e ao final cada um fica com R$24. Nosso objetivo é expressar o saldo de cada jogador após cada rodada em função de x,y,z e, por fim, impor que todos terminem com 24, deduzindo assim x,y,z.

Passo 2

Na primeira rodada, o primeiro jogador paga ao segundo e ao terceiro montantes iguais ao que cada um deles tinha no início. Logo:
A1 = x - (y + z), B1 = y + y = 2y, C1 = z + z = 2z

Passo 3

Na segunda rodada, o segundo jogador paga ao primeiro e ao terceiro montantes iguais aos saldos A1 e C1. Então:
A2 = A1 + A1 = 2,A1, B2 = B1 - l(A1 + C1r), C2 = C1 + C1 = 2,C1
Substituindo A1 = x - y - z e C1 = 2z, obtemos
A2 = 2(x - y - z), B2 = 2y - l[(x - y - z) + 2zr], C2 = 4z

Passo 4

Na terceira rodada, o terceiro jogador paga ao primeiro e ao segundo montantes iguais aos saldos A2 e B2. Assim:
A3 = 2,A2, B3 = 2,B2, C3 = C2 - l(A2 + B2r)
Como ao final todos têm 24, escrevemos o sistema
4(x - y - z) = 24, 6y - 2(x + z) = 24, 7z - x - y = 24

Passo 5

Simplificando cada equação:
x - y - z = 6, -x + 3y - z = 12, x + y - 7z = -24
Da primeira equação vem x = y + z + 6. Substituindo nas outras duas e resolvendo, encontramos
y = 21, z = 12, x = 39

Resposta

Primeiro jogador: R$ (39,00) Segundo jogador: R
Segundo jogador: R$ 21,00
Terceiro jogador: R$ 12,00

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