Questão 3: Uma casca esférica, isolante, com um raio interno
e um raio externo
, possui uma densidade volumétrica de carga com simetria esférica com a seguinte dependência radial:
, em que
é uma constante e r é a distância em relação ao centro da casca. (a) Determine a carga total da esfera. (b) Determine o valor do campo elétrico no ponto intermediário
.
Passo 1
No enunciado temos uma casca esférica isolante entre os raios internos e externos
e
, com densidade volumétrica de carga radial
, onde
. O conteúdo aqui é eletrostática de meios contínuos: vamos precisar integrar a densidade para achar a carga total e usar a lei de Gauss para o campo elétrico.
Passo 2
Para obter a carga total
da casca, usamos a definição
Como a distribuição é esférica, escolhemos o elemento de volume
e substituímos
:
Passo 3
Agora substituímos
e
. Primeiro calculamos
de onde
Passo 4
Para achar o campo em um ponto intermediário
com
, aplicamos a lei de Gauss:
onde a carga interna até
é
Assim
Passo 5
Para
, calculamos
de onde
e o campo é radial para fora.
Resposta
Carga total Q≈1,98×10^{-14} C. Campo em r=(a+b)/2≈0,176 N/C (radial para fora).