Questão 3: Uma casca esférica, isolante, com um raio interno a=2,00 cm e um raio externo b=2,40 cm, possui uma densidade volumétrica de carga com simetria esférica com a seguinte dependência radial: rho=A / r, em que A=1,79 times 10^-11 C / m^2 é uma constante e r é a distância em relação ao centro da casca. (a) Determine a carga total da esfera. (b) Determine o valor do campo elétrico no ponto intermediário r=(a+b) / 2.

Passo 1

No enunciado temos uma casca esférica isolante entre os raios internos e externos a=2,00,cm e b=2,40,cm, com densidade volumétrica de carga radial rho(r)=A/r, onde A=1,79times10^-11,C/m^2. O conteúdo aqui é eletrostática de meios contínuos: vamos precisar integrar a densidade para achar a carga total e usar a lei de Gauss para o campo elétrico.

Passo 2

Para obter a carga total Q da casca, usamos a definição
Q=integralVrho,dV
Como a distribuição é esférica, escolhemos o elemento de volume dV=4pi r^2,dr e substituímos rho=A/r:
Q=integrala^bAr,4pi r^2,dr=4pi Aintegrala^b r,dr=2pi Al(b^2-a^2r)

Passo 3

Agora substituímos a=0,02,m e b=0,024,m. Primeiro calculamos
b^2-a^2=0,000576-0,0004=0,000176,m^2,
de onde
Q=2pitimes1,79times10^-11times0,000176approx1,98times10^-14,C

Passo 4

Para achar o campo em um ponto intermediário r com a<r<b, aplicamos a lei de Gauss:
Phi=E(r),4pi r^2=Qintvarepsilon0,
onde a carga interna até r é
Qint=integrala^rAr'4pi r'^2,dr'=2pi A(r^2-a^2)
Assim
E(r)=Qint4pivarepsilon0 r^2=A2varepsilon0l(1-a^2r^2r)

Passo 5

Para r=(a+b)/2=0,022,m, calculamos
1-a^2r^2=1-0,00040,000484approx0,174,
de onde
E=1,79times10^-112times8,85times10^-12times0,174approx0,176,N/C,
e o campo é radial para fora.

Resposta

Carga total Q≈1,98×10^{-14} C. Campo em r=(a+b)/2≈0,176 N/C (radial para fora).

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