Dois novos medicamentos foram dados a pacientes com hipertensão. O primeiro deles baixou a pressão no sangue de 16 pacientes em média de 11 pontos, com desvio padrão de 6 pontos. O segundo baixou a pressão de outros 20 pacientes em média de 12 pontos, com desvio padrão de 8 pontos. Determine um intervalo de confiança de 95 % para a diferencia de reduções médias na pressão do sangue, supondo que as medições estão distribuídas normalmente com variâncias iguais.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos dois medicamentos novos que foram testados em pacientes com hipertensão. O primeiro medicamento foi dado para 16 pacientes e, em média, reduziu a pressão sanguínea em 11 pontos, com um desvio padrão de 6 pontos. O segundo medicamento foi dado para 20 pacientes e, em média, reduziu a pressão em 12 pontos, com um desvio padrão de 8 pontos. Nosso objetivo aqui é determinar um intervalo de confiança de 95% para a diferença das reduções médias na pressão do sangue entre esses dois medicamentos. Para isso, vamos usar conceitos de estatística como médias, desvios padrões, intervalos de confiança e suposições sobre a distribuição dos dados.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os dados que temos:
  • Medicamento 1:
    • Tamanho da amostra ( n1): 16
    • Média ( barX1): 11
    • Desvio padrão ( s1): 6
  • Medicamento 2:
    • Tamanho da amostra ( n2): 20
    • Média ( barX2): 12
    • Desvio padrão ( s2): 8

Passo 3

Como queremos encontrar a diferença das médias ( barX1 - barX2), vamos precisar calcular o intervalo de confiança para essa diferença. A fórmula geral para o intervalo de confiança de 95% para a diferença entre duas médias com variâncias iguais é:
(barX1 - barX2) pm talpha/2 times SE
Onde:
  • talpha/2 é o valor crítico da distribuição t de Student para o nível de confiança desejado e graus de liberdade.
  • SE é o erro padrão da diferença das médias.

Passo 4

Primeiro, vamos calcular o erro padrão ( SE). Como assumimos que as variâncias são iguais, usamos a variância combinada (ou pooled variance):
sp = raiz(n1 - 1)s1^2 + (n2 - 1)s2^2n1 + n2 - 2
Calculando sp:
sp = raiz(16 - 1) times 6^2 + (20 - 1) times 8^216 + 20 - 2 = raiz15 times 36 + 19 times 6434 = raiz540 + 121634 = raiz175634 approx raiz51.647 approx 7.19
Agora, o erro padrão ( SE) da diferença das médias é:
SE = sp times raiz1n1 + 1n2 = 7.19 times raiz116 + 120 = 7.19 times raiz0.0625 + 0.05 = 7.19 times raiz0.1125 approx 7.19 times 0.3354 approx 2.41

Passo 5

Agora, precisamos encontrar o valor crítico talpha/2 para um intervalo de confiança de 95%. Os graus de liberdade ( df) são:
df = n1 + n2 - 2 = 16 + 20 - 2 = 34
Consultando a tabela t de Student para df = 34 e nível de confiança de 95%, encontramos que t0.025 approx 2.032.

Passo 6

Com tudo isso, podemos montar o intervalo de confiança:
(barX1 - barX2) pm talpha/2 times SE = (11 - 12) pm 2.032 times 2.41
Calculando:
-1 pm 4.89
Então, o intervalo de confiança fica entre:
-1 - 4.89 = -5.89 e -1 + 4.89 = 3.89

Resposta

O intervalo de confiança de 95% para a diferença das reduções médias na pressão do sangue entre os dois medicamentos é de aproximadamente -5.89 a 3.89 pontos.

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