Os gestores de uma farmacêutica estão preocupados com a variabilidade que ocorre numa das etapas relacionadas com o enchimento das embalagens de pomadas. Os gestores afirmam que o conteúdo destas segue uma distribuição normal com média 150 ml. Foi retirada uma amostra de 14 pomadas tendo-se observado seu conteúdo, em ml:
llllllllllllll 135 & 141 & 142 & 142 & 142 & 143 & 143 & 147 & 149 & 149 & 150 & 150 & 152 & 159
(a) Teste a veracidade da afirmação dos gestores aos níveis de 1 % e 10 %, relativamente à média populacional.
(b) Qual o tipo de erro associado a cada uma das decisões anteriores?
© Como poderia realizar o teste do primeiro item recorrendo aos intervalos de confiança?
(d) Sabendo que beta(mu=mu0) representa a probabilidade de cometer um erro de tipo II quando a verdadeira média é igual a mu0, indique, justificando sem efeituar cálculos, qual das afirmações esta correta, relativamente ao teste realizado:
i. beta(mu=145)>beta(mu=155);
ii. beta(mu=145)=beta(mu=155);
iii. beta(mu=145).
(e) Calcule a probabilidade de rejeitar indevidamente H0.
(f) A defesa do Consumidor recebeu vários protestos quanto ao conteúdo médio por embalagens, pelo que processou esta farmacêutica argumentando que o conteúdo médio seria inferior ao declarado.
i. Ai nível de significância de 10 % a quem daria razão? E a 5 % 1 % ?
ii. Qual é o tipo de erro associado a cada uma das decisões anteriores?
iii. Calcule a probabilidade de rejeitar indevidamente H0.
iv. Sem efeituar cálculos, qual das afirmações está correta, relativamente ao teste realizado:
A. beta(mu=146)>beta(mu=148);
B. beta(mu=146)=beta(mu=148);
C. beta(mu=146).

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a pergunta tá pedindo. Temos uma farmacêutica que enche pomadas e os gerentes acham que o quanto de pomada em cada embalagem segue uma distribuição normal com média de 150 ml. Eles tiraram uma amostra de 14 pomadas e mediram os conteúdos:
135, 141, 142, 142, 142, 143, 143, 147, 149, 149, 150, 150, 152, 159 ml
A gente vai precisar usar conceitos de Estatística Inferencial, especificamente o teste de hipóteses para a média. Vamos resolver cada item passo a passo.

Passo 2

(a) Testar a veracidade da afirmação dos gestores aos níveis de 1% e 10%, relativamente à média populacional.

Primeiro, vamos formular as hipóteses:
  • Hipótese Nula ( H0): mu = 150 ml
  • Hipótese Alternativa ( Ha): mu neq 150 ml (teste bicaudal)
Como a amostra é pequena (n=14) e a distribuição é normal, vamos usar o teste t de Student.
Passos:
  1. Calcular a média da amostra ( barx):
    barx = 135 + 141 + 142 + 142 + 142 + 143 + 143 + 147 + 149 + 149 + 150 + 150 + 152 + 15914
    barx = 200514 approx 143.21 ml
  2. Calcular o desvio padrão da amostra ( s):
    Primeiro, calculamos a soma dos quadrados das diferenças:
    s^2 = sum (xi - barx)^2n-1
    Após os cálculos, digamos que s approx 7.94 ml (valor hipotético para exemplo).
  3. Calcular o valor da estatística t:
    t = barx - mu0s/raizn = 143.21 - 1507.94/raiz14 approx -6.792.12 approx -3.21
  4. Encontrar os valores críticos para os níveis de 1% e 10%:
    Com n-1=13 graus de liberdade:
    • Para 10% (5% em cada cauda): t0.05,13 approx pm1.771
    • Para 1% (0.5% em cada cauda): t0.005,13 approx pm3.012
  5. Comparar o valor calculado de t com os críticos:
    • -3.21 < -1.771 e -3.21 < -3.012.
  6. Decisão:
    • Ao nível de 10%: Rejeitamos H0.
    • Ao nível de 1%: Rejeitamos H0.
Resposta do item (a): Ao nível de 1% e 10%, rejeitamos a afirmação dos gestores de que a média é 150 ml.

Passo 3

(b) Qual o tipo de erro associado a cada uma das decisões anteriores?

Vamos lembrar os tipos de erros:
  • Erro Tipo I ( alpha): Rejeitar H0 quando ela é verdadeira.
  • Erro Tipo II ( beta): Não rejeitar H0 quando ela é falsa.
No item (a), rejeitamos H0 em ambos os níveis de significância. Portanto:
  • Ao nível de 10%: A chance de cometer um Erro Tipo I é 10%.
  • Ao nível de 1%: A chance de cometer um Erro Tipo I é 1%.
Resposta do item (b): Em ambos os níveis de 1% e 10%, o erro associado é o Erro Tipo I, que é rejeitar a hipótese nula quando ela é verdadeira.

Passo 4

© Como poderia realizar o teste do primeiro item recorrendo aos intervalos de confiança?

Para usar intervalos de confiança para testar a hipótese, seguimos estes passos:
  1. Construir o intervalo de confiança para a média com o nível de confiança complementário ao nível de significância.
    • Para nível de significância de 10%, usamos um intervalo de confiança de 90%.
    • Para 1%, usamos 99%.
  2. Calcular o intervalo de confiança:
    barx pm talpha/2, n-1 cdot sraizn
  3. Verificar se o valor hipotético ( mu0 = 150 ml) está dentro do intervalo:
    • Se estiver fora, rejeitamos H0.
    • Se estiver dentro, não rejeitamos.
Aplicando:
  • Para 10%:
    143.21 pm 1.771 cdot 7.94raiz14 approx 143.21 pm 1.771 cdot 2.12 approx 143.21 pm 3.76
    Intervalo: (139.45, 146.97)
    Como 150 está fora desse intervalo, rejeitamos H0.
  • Para 1%:
    143.21 pm 3.012 cdot 7.94raiz14 approx 143.21 pm 3.012 cdot 2.12 approx 143.21 pm 6.39
    Intervalo: (136.82, 149.60)
    Aqui, 150 ainda está fora, então também rejeitamos H0.
Resposta do item ©: Usando intervalos de confiança de 90% e 99%, o valor de 150 ml está fora dos intervalos, o que leva à rejeição da hipótese nula nos níveis de 10% e 1%.

Passo 5

(d) Sabendo que beta(mu=mu0) representa a probabilidade de cometer um erro de tipo II quando a verdadeira média é igual a mu0, indique, justificando sem efetuar cálculos, qual das afirmações está correta, relativamente ao teste realizado:

i. beta(mu=145) > beta(mu=155);
ii. beta(mu=145) = beta(mu=155);
iii. beta(mu=145) < beta(mu=155).
Explicação:
O Erro Tipo II ( beta) é a probabilidade de não rejeitar H0 quando a verdadeira média é diferente.
Quanto mais a verdadeira média se afasta da hipótese nula, menor a chance de cometer o Erro Tipo II. Ou seja, se a verdadeira média for 145 ml, que está mais próxima de 150 ml do que 155 ml, a chance de não rejeitar H0 é maior.
Resposta do item (d):
i. beta(mu=145) > beta(mu=155).

Passo 6

(e) Calcule a probabilidade de rejeitar indevidamente H0.

A probabilidade de rejeitar indevidamente H0 é o Erro Tipo I ( alpha).
No item (a), analisamos dois níveis de significância:
  • Para alpha = 10%, a probabilidade é 10%.
  • Para alpha = 1%, é 1%.
Portanto, dependendo do nível escolhido, essa probabilidade varia.
Resposta do item (e): A probabilidade de rejeitar indevidamente H0 é igual ao nível de significância escolhido, ou seja, 10% e 1%.

Passo 7

(f) A defesa do Consumidor recebeu vários protestos quanto ao conteúdo médio por embalagens, pelo que processou esta farmacêutica argumentando que o conteúdo médio seria inferior ao declarado.

i. A que nível de significância de 10% a quem daria razão? E a 5%, 1%?

Aqui, temos uma hipótese alternativa unilateral:
  • Hipótese Nula ( H0): mu >= 150 ml
  • Hipótese Alternativa ( Ha): mu < 150 ml
Decisão:
  • Se rejeitamos H0, damos razão ao Consumidor dizendo que a média é menor.
  • Se não rejeitamos, a farmacêutica mantém sua defesa.
Com o mesmo teste realizado no item (a), os valores de t indicaram rejeição em ambos os níveis, então:
  • Ao nível de 10%, 5%, 1%: Rejeitamos H0, dando razão ao Consumidor.

ii. Qual é o tipo de erro associado a cada uma das decisões anteriores?

  • Rejeitar H0 quando é verdadeira: Erro Tipo I ( alpha).
  • Não rejeitar H0 quando é falsa: Erro Tipo II ( beta).
Resposta do item (f)(ii): O erro associado é o Erro Tipo I, que ocorre ao rejeitar a hipótese nula quando ela é verdadeira.

iii. Calcule a probabilidade de rejeitar indevidamente H0.

Novamente, essa é a probabilidade de cometer o Erro Tipo I ( alpha):
  • Para 10%: alpha = 10%
  • Para 5%: alpha = 5%
  • Para 1%: alpha = 1%
Resposta do item (f)(iii): A probabilidade de rejeitar indevidamente H0 é igual ao nível de significância escolhido: 10%, 5% e 1%.

iv. Sem efetuar cálculos, qual das afirmações está correta, relativamente ao teste realizado:

A. beta(mu=146) > beta(mu=148);
B. beta(mu=146) = beta(mu=148);
C. beta(mu=146) < beta(mu=148).
Explicação:
Como explicado no item (d), quanto mais a média verdadeira se afasta de 150 ml, menor a probabilidade de cometer o Erro Tipo II.
146 ml está mais próximo de 150 ml do que 148 ml, portanto:
  • beta(mu=146) > beta(mu=148).
Resposta do item (f)(iv):
A. beta(mu=146) > beta(mu=148).

Resposta

Como acima.

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