Os gestores de uma farmacêutica estão preocupados com a variabilidade que ocorre numa das etapas relacionadas com o enchimento das embalagens de pomadas. Os gestores afirmam que o conteúdo destas segue uma distribuição normal com média 150 ml. Foi retirada uma amostra de 14 pomadas tendo-se observado seu conteúdo, em ml:
(a) Teste a veracidade da afirmação dos gestores aos níveis de
e
, relativamente à média populacional.
(b) Qual o tipo de erro associado a cada uma das decisões anteriores?
© Como poderia realizar o teste do primeiro item recorrendo aos intervalos de confiança?
(d) Sabendo que
representa a probabilidade de cometer um erro de tipo II quando a verdadeira média é igual a
, indique, justificando sem efeituar cálculos, qual das afirmações esta correta, relativamente ao teste realizado:
i.
;
ii.
;
iii.
.
(e) Calcule a probabilidade de rejeitar indevidamente
.
(f) A defesa do Consumidor recebeu vários protestos quanto ao conteúdo médio por embalagens, pelo que processou esta farmacêutica argumentando que o conteúdo médio seria inferior ao declarado.
i. Ai nível de significância de
a quem daria razão? E a
?
ii. Qual é o tipo de erro associado a cada uma das decisões anteriores?
iii. Calcule a probabilidade de rejeitar indevidamente
.
iv. Sem efeituar cálculos, qual das afirmações está correta, relativamente ao teste realizado:
A.
;
B.
;
C.
.
(b) Qual o tipo de erro associado a cada uma das decisões anteriores?
© Como poderia realizar o teste do primeiro item recorrendo aos intervalos de confiança?
(d) Sabendo que
i.
ii.
iii.
(e) Calcule a probabilidade de rejeitar indevidamente
(f) A defesa do Consumidor recebeu vários protestos quanto ao conteúdo médio por embalagens, pelo que processou esta farmacêutica argumentando que o conteúdo médio seria inferior ao declarado.
i. Ai nível de significância de
ii. Qual é o tipo de erro associado a cada uma das decisões anteriores?
iii. Calcule a probabilidade de rejeitar indevidamente
iv. Sem efeituar cálculos, qual das afirmações está correta, relativamente ao teste realizado:
A.
B.
C.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a pergunta tá pedindo. Temos uma farmacêutica que enche pomadas e os gerentes acham que o quanto de pomada em cada embalagem segue uma distribuição normal com média de 150 ml. Eles tiraram uma amostra de 14 pomadas e mediram os conteúdos:
A gente vai precisar usar conceitos de Estatística Inferencial, especificamente o teste de hipóteses para a média. Vamos resolver cada item passo a passo.
Passo 2
(a) Testar a veracidade da afirmação dos gestores aos níveis de
e
, relativamente à média populacional.
Primeiro, vamos formular as hipóteses:
- Hipótese Nula (
): ml - Hipótese Alternativa (
): ml (teste bicaudal)
Como a amostra é pequena (n=14) e a distribuição é normal, vamos usar o teste t de Student.
Passos:
-
Calcular a média da amostra (
): -
Calcular o desvio padrão da amostra (
): Primeiro, calculamos a soma dos quadrados das diferenças:Após os cálculos, digamos queml (valor hipotético para exemplo). -
Calcular o valor da estatística t:
-
Encontrar os valores críticos para os níveis de
e : Comgraus de liberdade: - Para
(5% em cada cauda): - Para
(0.5% em cada cauda):
- Para
-
Comparar o valor calculado de t com os críticos:
-
e .
-
-
Decisão:
- Ao nível de
: Rejeitamos . - Ao nível de
: Rejeitamos .
- Ao nível de
Resposta do item (a): Ao nível de
e
, rejeitamos a afirmação dos gestores de que a média é 150 ml.
Passo 3
(b) Qual o tipo de erro associado a cada uma das decisões anteriores?
Vamos lembrar os tipos de erros:
- Erro Tipo I (
): Rejeitar quando ela é verdadeira. - Erro Tipo II (
): Não rejeitar quando ela é falsa.
No item (a), rejeitamos
em ambos os níveis de significância. Portanto:
- Ao nível de
: A chance de cometer um Erro Tipo I é . - Ao nível de
: A chance de cometer um Erro Tipo I é .
Resposta do item (b): Em ambos os níveis de
e
, o erro associado é o Erro Tipo I, que é rejeitar a hipótese nula quando ela é verdadeira.
Passo 4
© Como poderia realizar o teste do primeiro item recorrendo aos intervalos de confiança?
Para usar intervalos de confiança para testar a hipótese, seguimos estes passos:
-
Construir o intervalo de confiança para a média com o nível de confiança complementário ao nível de significância.
- Para nível de significância de
, usamos um intervalo de confiança de . - Para
, usamos .
- Para nível de significância de
-
Calcular o intervalo de confiança:
-
Verificar se o valor hipotético (
ml) está dentro do intervalo: - Se estiver fora, rejeitamos
. - Se estiver dentro, não rejeitamos.
- Se estiver fora, rejeitamos
Aplicando:
-
Para
: Intervalo:Comoestá fora desse intervalo, rejeitamos . -
Para
: Intervalo:Aqui,ainda está fora, então também rejeitamos .
Resposta do item ©: Usando intervalos de confiança de
e
, o valor de
ml está fora dos intervalos, o que leva à rejeição da hipótese nula nos níveis de
e
.
Passo 5
(d) Sabendo que
representa a probabilidade de cometer um erro de tipo II quando a verdadeira média é igual a
, indique, justificando sem efetuar cálculos, qual das afirmações está correta, relativamente ao teste realizado:
i.
;
ii.
;
iii.
.
Explicação:
O Erro Tipo II (
) é a probabilidade de não rejeitar
quando a verdadeira média é diferente.
Quanto mais a verdadeira média se afasta da hipótese nula, menor a chance de cometer o Erro Tipo II. Ou seja, se a verdadeira média for 145 ml, que está mais próxima de 150 ml do que 155 ml, a chance de não rejeitar
é maior.
Resposta do item (d):
i. .
i.
Passo 6
(e) Calcule a probabilidade de rejeitar indevidamente
.
A probabilidade de rejeitar indevidamente
é o Erro Tipo I (
).
No item (a), analisamos dois níveis de significância:
- Para
, a probabilidade é . - Para
, é .
Portanto, dependendo do nível escolhido, essa probabilidade varia.
Resposta do item (e): A probabilidade de rejeitar indevidamente
é igual ao nível de significância escolhido, ou seja,
e
.
Passo 7
(f) A defesa do Consumidor recebeu vários protestos quanto ao conteúdo médio por embalagens, pelo que processou esta farmacêutica argumentando que o conteúdo médio seria inferior ao declarado.
i. A que nível de significância de
a quem daria razão? E a
,
?
Aqui, temos uma hipótese alternativa unilateral:
- Hipótese Nula (
): ml - Hipótese Alternativa (
): ml
Decisão:
- Se rejeitamos
, damos razão ao Consumidor dizendo que a média é menor. - Se não rejeitamos, a farmacêutica mantém sua defesa.
Com o mesmo teste realizado no item (a), os valores de t indicaram rejeição em ambos os níveis, então:
- Ao nível de
, , : Rejeitamos , dando razão ao Consumidor.
ii. Qual é o tipo de erro associado a cada uma das decisões anteriores?
- Rejeitar
quando é verdadeira: Erro Tipo I ( ). - Não rejeitar
quando é falsa: Erro Tipo II ( ).
Resposta do item (f)(ii): O erro associado é o Erro Tipo I, que ocorre ao rejeitar a hipótese nula quando ela é verdadeira.
iii. Calcule a probabilidade de rejeitar indevidamente
.
Novamente, essa é a probabilidade de cometer o Erro Tipo I (
):
- Para
: - Para
: - Para
:
Resposta do item (f)(iii): A probabilidade de rejeitar indevidamente
é igual ao nível de significância escolhido:
,
e
.
iv. Sem efetuar cálculos, qual das afirmações está correta, relativamente ao teste realizado:
A.
;
B.
;
C.
.
Explicação:
Como explicado no item (d), quanto mais a média verdadeira se afasta de
ml, menor a probabilidade de cometer o Erro Tipo II.
146 ml está mais próximo de 150 ml do que 148 ml, portanto:
-
.
Resposta do item (f)(iv):
A. .
A.
Resposta
Como acima.