Dois números distintos
e
são retirados aleatoriamente do conjunto
. A probabilidade
de que
seja um número inteiro é:
Passo 1
Beleza, olha o que o exercício pede: a gente tem o conjunto
{2, 2², 2³, …, 2¹⁴}
e tira dois números distintos, um chamamos de m e outro de n. Queremos a probabilidade de que
{2, 2², 2³, …, 2¹⁴}
e tira dois números distintos, um chamamos de m e outro de n. Queremos a probabilidade de que
seja um número inteiro.
Conteúdo: combinatória básica (contagem de casos) e propriedades de logaritmo (mudança de base). Vamos precisar:
Conteúdo: combinatória básica (contagem de casos) e propriedades de logaritmo (mudança de base). Vamos precisar:
- saber quantos pares (m,n) distintos podemos escolher;
- usar que, se m=2^i e n=2^j, então
; - contar para quantos desses pares
é inteiro.
Passo 2
Calcular o total de pares (m,n) distintos e ordenados:
- Há 14 escolhas para m;
- Para cada m, sobram 13 escolhas para n (não pode repetir).
Logo o total de casos possíveis é
Passo 3
Agora, quantos desses pares fazem
ser inteiro?
- Escrevemos m = 2^i e n = 2^j, com i≠j e i,j ∈ {1,2,…,14}.
- Então
Para
ser inteiro, j tem que ser múltiplo de i e, note, necessariamente j>i (se j<i,
não pode ser inteiro positivo).
3) Para cada i de 1 a 14, contamos quantos múltiplos de i existem até 14, mas excluímos o próprio i (porque j>i):
3) Para cada i de 1 a 14, contamos quantos múltiplos de i existem até 14, mas excluímos o próprio i (porque j>i):
Fazendo essa conta para i=1,…,14, obtemos no total 27 pares “bons”.
Resposta
A probabilidade pedida é