Dois números distintos m e n são retirados aleatoriamente do conjunto 2,2^2, 2^3, ldots, 2^14. A probabilidade ab de que log m n seja um número inteiro é:

Passo 1

Beleza, olha o que o exercício pede: a gente tem o conjunto
{2, 2², 2³, …, 2¹⁴}
e tira dois números distintos, um chamamos de m e outro de n. Queremos a probabilidade de que
logm n
seja um número inteiro.
Conteúdo: combinatória básica (contagem de casos) e propriedades de logaritmo (mudança de base). Vamos precisar:
  1. saber quantos pares (m,n) distintos podemos escolher;
  2. usar que, se m=2^i e n=2^j, então
    ;
  3. contar para quantos desses pares é inteiro.

Passo 2

Calcular o total de pares (m,n) distintos e ordenados:
  • Há 14 escolhas para m;
  • Para cada m, sobram 13 escolhas para n (não pode repetir).
    Logo o total de casos possíveis é
14 times 13 = 182

Passo 3

Agora, quantos desses pares fazem logmn ;=;log2 nlog2 m ;=;ji ser inteiro?
  1. Escrevemos m = 2^i e n = 2^j, com i≠j e i,j ∈ {1,2,…,14}.
  2. Então
#j>i:j<=14,;imid j = llfloor14irrfloor - 1
Para ser inteiro, j tem que ser múltiplo de i e, note, necessariamente j>i (se j<i, não pode ser inteiro positivo).
3) Para cada i de 1 a 14, contamos quantos múltiplos de i existem até 14, mas excluímos o próprio i (porque j>i):
Fazendo essa conta para i=1,…,14, obtemos no total 27 pares “bons”.

Resposta

A probabilidade pedida é
27182

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